ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 51

а) Найдем область определения функции $y = \sqrt{20 + 8x - x^2} + \sqrt[6]{x - 4}$. Так как корни имеют четные степени (вторую и шестую), подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 20 + 8x - x^2 \ge 0, \\ x - 4 \ge 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 8x - 20 \le 0. $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x - 20 = 0$: $$ D_1 = (-4)^2 - 1 \cdot (-20) = 16 + 20 = 36 = 6^2; $$ $$ x_1 = 4 - 6 = -2; \quad x_2 = 4 + 6 = 10. $$ Следовательно, решением первого неравенства является отрезок: $$ -2 \le x \le 10. $$ Решим второе неравенство системы: $$ x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4. $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} -2 \le x \le 10, \\ x \ge 4 \end{cases} \implies 4 \le x \le 10. $$ Таким образом, область определения функции: $x \in [4; 10]$. б) Найдем область определения функции $y = \frac{\sqrt{33 + 8x - x^2}}{\sqrt[4]{x - 5}}$. Выражение под квадратным корнем в числителе должно быть неотрицательным, а выражение под корнем четвертой степени в знаменателе должно быть строго положительным, так как деление на ноль невозможно: $$ \begin{cases} 33 + 8x - x^2 \ge 0, \\ x - 5 > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 8x - 33 \le 0. $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x - 33 = 0$: $$ D_1 = (-4)^2 - 1 \cdot (-33) = 16 + 33 = 49 = 7^2; $$ $$ x_1 = 4 - 7 = -3; \quad x_2 = 4 + 7 = 11. $$ Следовательно, решением первого неравенства является отрезок: $$ -3 \le x \le 11. $$ Решим второе неравенство системы: $$ x - 5 > 0 \implies x > 5. $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} -3 \le x \le 11, \\ x > 5 \end{cases} \implies 5 < x \le 11. $$ Таким образом, область определения функции: $x \in (5; 11]$. **Ответ:** а) $[4; 10]$; б) $(5; 11]$.