ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 58

### а) $f(x) = \frac{x - 2,5}{x^2 - 4}$ 1. **Промежутки непрерывности:** Дробно-рациональная функция непрерывна на всей своей области определения. Найдем область определения: $$ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq -2 \quad \text{и} \quad x \neq 2 $$ Таким образом, промежутками непрерывности являются интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$. 2. **Промежутки возрастания и убывания:** Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: $$ f'(x) = \frac{(x - 2,5)'(x^2 - 4) - (x - 2,5)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - (x - 2,5) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{x^2 - 4 - 2x^2 + 5x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 + 5x - 4}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x^2 - 4)^2} $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff -x^2 + 5x - 4 = 0 \iff x_1 = 1, \quad x_2 = 4 $$ Знаменатель $(x^2 - 4)^2 > 0$ при всех $x \neq \pm 2$. Определим знак производной методом интервалов на каждом из интервалов области определения с учетом точек $-2$, $1$, $2$, $4$: - на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на интервале $(-2; 1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на интервале $(1; 2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(2; 4)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Точки $x = 1$ и $x = 4$ входят в область определения и включаются в промежутки монотонности. **Ответ:** Промежутки непрерывности: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$. Функция возрастает на $[1; 2)$ и $(2; 4]$. Функция убывает на $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$ и $[4; +\infty)$. --- ### б) $f(x) = \frac{x - 5}{9 - x^2}$ 1. **Промежутки непрерывности:** Дробно-рациональная функция непрерывна на всей области определения. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $$ 9 - x^2 \neq 0 \implies x \neq -3 \quad \text{и} \quad x \neq 3 $$ Следовательно, промежутками непрерывности являются интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$. 2. **Промежутки возрастания и убывания:** Найдем производную функции: $$ f'(x) = \frac{(x - 5)'(9 - x^2) - (x - 5)(9 - x^2)'}{(9 - x^2)^2} = \frac{1 \cdot (9 - x^2) - (x - 5) \cdot (-2x)}{(9 - x^2)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{9 - x^2 + 2x^2 - 10x}{(9 - x^2)^2} = \frac{x^2 - 10x + 9}{(9 - x^2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 9)}{(9 - x^2)^2} $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x^2 - 10x + 9 = 0 \iff x_1 = 1, \quad x_2 = 9 $$ Знаменатель $(9 - x^2)^2 > 0$ при всех $x \neq \pm 3$. Определим знак производной с учетом точек $-3$, $1$, $3$, $9$: - на интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(-3; 1)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(1; 3)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на интервале $(3; 9)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на интервале $(9; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Точки $x = 1$ и $x = 9$ входят в область определения и включаются в промежутки монотонности. **Ответ:** Промежутки непрерывности: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; -3)$, $(-3; 1]$ и $[9; +\infty)$. Функция убывает на $[1; 3)$ и $(3; 9]$. --- ### в) $f(x) = 2x^2 - \ln x$ 1. **Промежутки непрерывности:** Область определения определяется выражением под логарифмом: $$ x > 0 $$ Элементарная функция непрерывна на всей области определения. Промежуток непрерывности: $(0; +\infty)$. 2. **Промежутки возрастания и убывания:** Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2x^2)' - (\ln x)' = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x} $$ Найдем критические точки на промежутке $(0; +\infty)$: $$ f'(x) = 0 \iff 4x^2 - 1 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{4} $$ Так как $x > 0$, получаем единственный корень: $x = 0,5$. Определим знаки производной при $x > 0$: - при $x \in (0; 0,5)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - при $x \in (0,5; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Точка $x = 0,5$ входит в область определения функции. **Ответ:** Промежуток непрерывности: $(0; +\infty)$. Функция возрастает на $[0,5; +\infty)$. Функция убывает на $(0; 0,5]$. --- ### г) $f(x) = \ln x - 4,5x^2$ 1. **Промежутки непрерывности:** Область определения: $$ x > 0 $$ Функция непрерывна на всей области определения. Промежуток непрерывности: $(0; +\infty)$. 2. **Промежутки возрастания и убывания:** Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\ln x)' - (4,5x^2)' = \frac{1}{x} - 9x = \frac{1 - 9x^2}{x} $$ Найдем критические точки на интервале $(0; +\infty)$: $$ f'(x) = 0 \iff 1 - 9x^2 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{9} $$ С учетом условия $x > 0$, получаем: $x = \frac{1}{3}$. Определим знаки производной при $x > 0$: - при $x \in \left(0; \frac{1}{3}\right)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - при $x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Точка $x = \frac{1}{3}$ входит в область определения функции. **Ответ:** Промежуток непрерывности: $(0; +\infty)$. Функция возрастает на $\left(0; \frac{1}{3}\right]$. Функция убывает на $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$.