ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 59

1. Докажем, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1$ имеет единственный нуль на отрезке $[-1; 3]$. Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, в том числе и на отрезке $[-1; 3]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1\right)' = x^2 - 2x - 8 $$ Разложим производную на множители: $$ f'(x) = (x + 2)(x - 4) $$ Исследуем знак производной на интервале $(-1; 3)$: - для любого $x \in (-1; 3)$ множитель $x + 2 > 0$; - для любого $x \in (-1; 3)$ множитель $x - 4 < 0$. Следовательно, на интервале $(-1; 3)$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$, а значит, функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[-1; 3]$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 8(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 8 + 1 = \frac{23}{3} > 0 $$ $$ f(3) = \frac{1}{3}\cdot 3^3 - 3^2 - 8\cdot 3 + 1 = 9 - 9 - 24 + 1 = -23 < 0 $$ Так как функция непрерывна на отрезке $[-1; 3]$ и принимает на его концах значения разных знаков ($f(-1) > 0$, $f(3) < 0$), то по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке $[-1; 3]$ существует хотя бы одна точка $x_0$, в которой $f(x_0) = 0$. В силу строгой монотонности (строгого убывания) функции на отрезке $[-1; 3]$ этот нуль является единственным. Утверждение доказано. 2. Найдем количество нулей функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ (x + 2)(x - 4) = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 4 $$ Определим знаки производной на промежутках: - на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$, функция строго возрастает; - на отрезке $[-2; 4]$: $f'(x) \leqslant 0$, функция строго убывает; - на интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция строго возрастает. Вычислим значения функции в критических точках: $$ f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8(-2) + 1 = -\frac{8}{3} - 4 + 16 + 1 = \frac{31}{3} = 10\frac{1}{3} > 0 $$ $$ f(4) = \frac{1}{3}\cdot 4^3 - 4^2 - 8\cdot 4 + 1 = \frac{64}{3} - 16 - 32 + 1 = \frac{64}{3} - 47 = -\frac{77}{3} = -25\frac{2}{3} < 0 $$ Поведение функции на числовой прямой: - так как $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, а $f(-2) > 0$, то на промежутке $(-\infty; -2)$ функция строго возрастает и принимает значение $0$ ровно один раз; - так как $f(-2) > 0$ и $f(4) < 0$, то на отрезке $[-2; 4]$ функция строго убывает и принимает значение $0$ ровно один раз; - так как $f(4) < 0$, а $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, то на промежутке $(4; +\infty)$ функция строго возрастает и принимает значение $0$ ровно один раз. Таким образом, на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ функция имеет $3$ нуля. 3. Определим точки локального экстремума функции $f(x)$. - При переходе через точку $x = -2$ производная $f'(x)$ меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = -2$ — точка локального максимума. - При переходе через точку $x = 4$ производная $f'(x)$ меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 4$ — точка локального минимума. Ответ: 1. Доказано. 2. $3$ нуля. 3. Точка локального максимума $x = -2$; точка локального минимума $x = 4$.