ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 55

Функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ определена и непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Для исследования функции на монотонность найдём её производную: $$ f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x - 1)' = 3x^2 - 12x + 9 $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки и разложим полученный квадратный трёхчлен на множители: $$ f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $$ 3(x - 1)(x - 3) = 0 $$ $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 $$ Определим знак производной на промежутках с помощью метода интервалов: 1. На интервале $(-\infty; 1)$: возьмём точку $x = 0$, получаем $f'(0) = 3(0 - 1)(0 - 3) = 9 > 0$. 2. На интервале $(1; 3)$: возьмём точку $x = 2$, получаем $f'(2) = 3(2 - 1)(2 - 3) = -3 < 0$. 3. На интервале $(3; +\infty)$: возьмём точку $x = 4$, получаем $f'(4) = 3(4 - 1)(4 - 3) = 9 > 0$. Так как: - $f'(x) > 0$ на интервале $(-\infty; 1)$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 1$, то функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$; - $f'(x) > 0$ на интервале $(3; +\infty)$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 3$, то функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[3; +\infty)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, что и требовалось доказать.