ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 32

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми является меньший из образованных ими углов, то есть угол $\varphi \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$. Так как угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0)$, а прямая $l$ — это ось $Ox$, угол $\varphi$ между касательной и осью $Ox$ находится по формуле: $$ \operatorname{tg} \varphi = |k| = |f'(x_0)| \implies \varphi = \operatorname{arctg}|f'(x_0)| $$ --- ### а) $y = x^2 + x - 2$ 1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$: $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = (x^2 + x - 2)' = 2x + 1 $$ 3. Вычислим значения производной в точках пересечения и найдем углы: - В точке $(1; 0)$: $y'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. $\operatorname{tg} \varphi_1 = |3| = 3 \implies \varphi_1 = \operatorname{arctg} 3$. - В точке $(-2; 0)$: $y'(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3$. $\operatorname{tg} \varphi_2 = |-3| = 3 \implies \varphi_2 = \operatorname{arctg} 3$. **Ответ:** в обеих точках угол равен $\operatorname{arctg} 3$. --- ### б) $y = 5x^2 + 4x - 9$ 1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$: $$ 5x^2 + 4x - 9 = 0 $$ $$ D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = 2^2 - 5 \cdot (-9) = 4 + 45 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 + 7}{5} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 7}{5} = -\frac{9}{5} = -1{,}8 $$ 2. Найдем производную функции: $$ y' = (5x^2 + 4x - 9)' = 10x + 4 $$ 3. Вычислим значения производной в точках пересечения и найдем углы: - В точке $(1; 0)$: $y'(1) = 10 \cdot 1 + 4 = 14$. $\operatorname{tg} \varphi_1 = |14| = 14 \implies \varphi_1 = \operatorname{arctg} 14$. - В точке $(-1{,}8; 0)$: $y'(-1{,}8) = 10 \cdot (-1{,}8) + 4 = -18 + 4 = -14$. $\operatorname{tg} \varphi_2 = |-14| = 14 \implies \varphi_2 = \operatorname{arctg} 14$. **Ответ:** в обеих точках угол равен $\operatorname{arctg} 14$. --- ### в) $y = 2x^3 - 12x^2 + x - 6$ 1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$: $$ 2x^3 - 12x^2 + x - 6 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ 2x^2(x - 6) + (x - 6) = 0 $$ $$ (x - 6)(2x^2 + 1) = 0 $$ Уравнение $2x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как $2x^2 + 1 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, единственный корень: $x = 6$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = (2x^3 - 12x^2 + x - 6)' = 6x^2 - 24x + 1 $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x = 6$ и найдем угол: $y'(6) = 6 \cdot 6^2 - 24 \cdot 6 + 1 = 216 - 144 + 1 = 73$. $\operatorname{tg} \varphi = |73| = 73 \implies \varphi = \operatorname{arctg} 73$. **Ответ:** $\operatorname{arctg} 73$. --- ### г) $y = x^3 + 6x^2 + 5x$ 1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$: $$ x^3 + 6x^2 + 5x = 0 $$ $$ x(x^2 + 6x + 5) = 0 $$ $$ x(x + 1)(x + 5) = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -5$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = (x^3 + 6x^2 + 5x)' = 3x^2 + 12x + 5 $$ 3. Вычислим значения производной в точках пересечения и найдем углы: - В точке $(0; 0)$: $y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 12 \cdot 0 + 5 = 5$. $\operatorname{tg} \varphi_1 = |5| = 5 \implies \varphi_1 = \operatorname{arctg} 5$. - В точке $(-1; 0)$: $y'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 + 12 \cdot (-1) + 5 = 3 - 12 + 5 = -4$. $\operatorname{tg} \varphi_2 = |-4| = 4 \implies \varphi_2 = \operatorname{arctg} 4$. - В точке $(-5; 0)$: $y'(-5) = 3 \cdot (-5)^2 + 12 \cdot (-5) + 5 = 75 - 60 + 5 = 20$. $\operatorname{tg} \varphi_3 = |20| = 20 \implies \varphi_3 = \operatorname{arctg} 20$. **Ответ:** в точке $(0; 0)$ угол равен $\operatorname{arctg} 5$; в точке $(-1; 0)$ угол равен $\operatorname{arctg} 4$; в точке $(-5; 0)$ угол равен $\operatorname{arctg} 20$.