ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 34

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ По условию абсцисса точки касания $x_0 = e$. ### а) $f(x) = x^e$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$: $$ f(e) = e^e $$ 2. Найдем производную степенной функции по формуле $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$: $$ f'(x) = (x^e)' = e \cdot x^{e - 1} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = e$: $$ f'(e) = e \cdot e^{e - 1} = e^{1 + e - 1} = e^e $$ 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = e^e + e^e(x - e) $$ $$ y = e^e + e^e x - e \cdot e^e $$ $$ y = e^e x + e^e - e^{e+1} $$ (или в виде $y = e^e x + e^e(1 - e)$). **Ответ:** $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$ --- ### б) $f(x) = e^x$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$: $$ f(e) = e^e $$ 2. Найдем производную показательной функции по формуле $(e^x)' = e^x$: $$ f'(x) = (e^x)' = e^x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = e$: $$ f'(e) = e^e $$ 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = e^e + e^e(x - e) $$ $$ y = e^e + e^e x - e \cdot e^e $$ $$ y = e^e x + e^e - e^{e+1} $$ **Ответ:** $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$