ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 30

**а)** $f(x) = \dfrac{8}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 4$. Запишем функцию в виде степени с рациональным показателем: $$ f(x) = 8x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = -4x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{4}{x\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $$ f'(4) = -\frac{4}{4\sqrt{4}} = -\frac{4}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 $$ **б)** $f(x) = \dfrac{-4}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 2$. Представим функцию в виде: $$ f(x) = -4x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = 2x^{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{x\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $$ f'(2) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ **в)** $f(x) = \sin \dfrac{\pi x}{2} + \ln(2 - x)$, $x_0 = 1$. Используя правила дифференцирования сложной функции, найдем производную: $$ f'(x) = \left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)' + (\ln(2 - x))' = \cos\frac{\pi x}{2} \cdot \left(\frac{\pi x}{2}\right)' + \frac{1}{2 - x} \cdot (2 - x)' $$ $$ f'(x) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{2 - x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2 - 1} = \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1 = -1 $$ **г)** $f(x) = \cos \pi x - e^{1-x}$, $x_0 = 1$. Найдем производную как сумму производных сложных функций: $$ f'(x) = (\cos \pi x)' - (e^{1-x})' = -\sin(\pi x) \cdot (\pi x)' - e^{1-x} \cdot (1 - x)' $$ $$ f'(x) = -\pi\sin(\pi x) + e^{1-x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = -\pi\sin(\pi) + e^{1-1} = -\pi \cdot 0 + e^0 = 1 $$ **Ответ:** а) $-0{,}5$; б) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; в) $-1$; г) $1$.