ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 16

Геометрический смысл выражения $|x - a|$ — это расстояние на числовой оси между точками $x$ и $a$. Функция $y = |x - a|$ убывает на промежутке $(-\infty; a]$ и возрастает на промежутке $[a; +\infty)$, поэтому на отрезке $[-2; 3]$ её наибольшее значение может достигаться только на концах этого отрезка, то есть при $x = -2$ или при $x = 3$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ y(-2) = |-2 - a| = |a + 2| $$ $$ y(3) = |3 - a| = |a - 3| $$ Наибольшее значение функции на отрезке равно: $$ M(a) = \max(|a + 2|, |a - 3|) $$ Сравним величины $|a + 2|$ и $|a - 3|$: - если $a < 0,5$, то точка $a$ расположена ближе к числу $-2$, чем к числу $3$, поэтому $|a - 3| > |a + 2|$, и $M(a) = |a - 3| = 3 - a$; - если $a > 0,5$, то точка $a$ расположена ближе к числу $3$, поэтому $|a + 2| > |a - 3|$, и $M(a) = |a + 2| = a + 2$; - если $a = 0,5$, то $|a + 2| = |a - 3| = 2,5$, и $M(a) = 2,5$. Таким образом: $$ M(a) = \begin{cases} 3 - a, & \text{если } a \le 0,5; \\ a + 2, & \text{если } a > 0,5. \end{cases} $$ --- ### а) Наи наибольшее значение равно 4,5 Составим уравнение $M(a) = 4,5$: 1. При $a \le 0,5$: $$ 3 - a = 4,5 \implies a = 3 - 4,5 \implies a = -1,5 $$ Число $-1,5$ удовлетворяет условию $a \le 0,5$. 2. При $a > 0,5$: $$ a + 2 = 4,5 \implies a = 4,5 - 2 \implies a = 2,5 $$ Число $2,5$ удовлетворяет условию $a > 0,5$. **Ответ:** $a = -1,5$ или $a = 2,5$. --- ### б) Наибольшее значение равно 3,5 Составим уравнение $M(a) = 3,5$: 1. При $a \le 0,5$: $$ 3 - a = 3,5 \implies a = 3 - 3,5 \implies a = -0,5 $$ Число $-0,5$ удовлетворяет условию $a \le 0,5$. 2. При $a > 0,5$: $$ a + 2 = 3,5 \implies a = 3,5 - 2 \implies a = 1,5 $$ Число $1,5$ удовлетворяет условию $a > 0,5$. **Ответ:** $a = -0,5$ или $a = 1,5$. --- ### в) Наибольшее значение достигается в двух точках Внутри отрезка $[-2; 3]$ функция не имеет локальных максимумов (в точке $x = a$ функция достигает своего наименьшего значения, равного 0). Следовательно, наибольшее значение может приниматься в двух точках тогда и только тогда, когда значения функции на обоих концах отрезка равны между собой: $$ y(-2) = y(3) $$ $$ |a + 2| = |a - 3| $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (a + 2)^2 = (a - 3)^2 $$ $$ a^2 + 4a + 4 = a^2 - 6a + 9 $$ $$ 10a = 5 \implies a = 0,5 $$ При $a = 0,5$ значение функции на концах отрезка равно: $y(-2) = |-2 - 0,5| = 2,5$ и $y(3) = |3 - 0,5| = 2,5$. При этом для всех $x \in (-2; 3)$ выполняется неравенство $|x - 0,5| < 2,5$. Значит, наибольшее значение действительно достигается ровно в двух точках: $x = -2$ и $x = 3$. **Ответ:** $a = 0,5$.