ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 68

а) Представим показательно-степенную функцию при $x > 0$ через экспоненту с помощью основного логарифмического тождества: $$ y = x^x = e^{\ln(x^x)} = e^{x \ln x} $$ Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ и формулу производной произведения: $$ y' = (e^{x \ln x})' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' $$ Найдём производную показателя степени: $$ (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ Подставим полученное выражение и вернёмся к записи через исходную функцию $e^{x \ln x} = x^x$: $$ y' = x^x (\ln x + 1) $$ б) Представим функцию при $x > 0$ через экспоненту: $$ y = x^{\sin x} = e^{\ln(x^{\sin x})} = e^{\sin x \cdot \ln x} $$ Дифференцируем как сложную функцию: $$ y' = (e^{\sin x \cdot \ln x})' = e^{\sin x \cdot \ln x} \cdot (\sin x \cdot \ln x)' $$ Найдём производную произведения: $$ (\sin x \cdot \ln x)' = (\sin x)' \cdot \ln x + \sin x \cdot (\ln x)' = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} $$ Подставим результат и заменим $e^{\sin x \cdot \ln x}$ на $x^{\sin x}$: $$ y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right) $$ в) Представим функцию при $x > 0$ через экспоненту: $$ y = x^{\cos x} = e^{\ln(x^{\cos x})} = e^{\cos x \cdot \ln x} $$ Дифференцируем как сложную функцию: $$ y' = (e^{\cos x \cdot \ln x})' = e^{\cos x \cdot \ln x} \cdot (\cos x \cdot \ln x)' $$ Найдём производную произведения: $$ (\cos x \cdot \ln x)' = (\cos x)' \cdot \ln x + \cos x \cdot (\ln x)' = -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} $$ Подставим результат и заменим $e^{\cos x \cdot \ln x}$ на $x^{\cos x}$: $$ y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right) $$ **Ответ:** а) $y' = x^x (\ln x + 1)$; б) $y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$; в) $y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$.