ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 57

Найдем производные заданных функций, используя формулу производной сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$ и таблицу производных основных тригонометрических функций. а) $f(x) = \sin 2x$ Функция является сложной: внешней функцией является синус, внутренней — линейная функция $2x$. $$ f'(x) = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x $$ Ответ: $f'(x) = 2\cos 2x$. б) $f(x) = \cos (3x + 1)$ Внешняя функция — косинус, внутренняя — линейная функция $3x + 1$. Так как $(\cos u)' = -\sin u$, получаем: $$ f'(x) = (\cos (3x + 1))' = -\sin (3x + 1) \cdot (3x + 1)' = -\sin (3x + 1) \cdot 3 = -3\sin (3x + 1) $$ Ответ: $f'(x) = -3\sin (3x + 1)$. в) $f(x) = \tg (2x - 3)$ Внешняя функция — тангенс, внутренняя — линейная функция $2x - 3$. Так как $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$, получаем: $$ f'(x) = (\tg (2x - 3))' = \frac{1}{\cos^2 (2x - 3)} \cdot (2x - 3)' = \frac{1}{\cos^2 (2x - 3)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 (2x - 3)} $$ Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 (2x - 3)}$. г) $f(x) = \ctg (-5x)$ Внешняя функция — котангенс, внутренняя — линейная функция $-5x$. Так как $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$, получаем: $$ f'(x) = (\ctg (-5x))' = -\frac{1}{\sin^2 (-5x)} \cdot (-5x)' = -\frac{1}{\sin^2 (-5x)} \cdot (-5) = \frac{5}{\sin^2 (-5x)} $$ Поскольку $\sin(-5x) = -\sin 5x$, то $\sin^2(-5x) = (-\sin 5x)^2 = \sin^2 5x$: $$ f'(x) = \frac{5}{\sin^2 5x} $$ Ответ: $f'(x) = \frac{5}{\sin^2 5x}$.