ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 55

Найдите производную функции $f(x)$: **а)** $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x$ Область определения функции: $x > 0$. Преобразуем первое слагаемое, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойства логарифма: $$ \log_4(12x) = \frac{\log_2(12x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 12 + \log_2 x}{2} = \frac{1}{2}\log_2 12 + \frac{1}{2}\log_2 x $$ Перепишем исходную функцию в виде: $$ f(x) = \frac{1}{2}\log_2 12 + \frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x $$ Найдём производную, учитывая, что $\left(\frac{1}{2}\log_2 12\right)' = 0$, так как это константа, а $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$: $$ f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot (\log_2 x)' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{1}{2x \ln 2} $$ Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x \ln 2}$. --- **б)** $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x)$ Область определения функции: $-x > 0 \iff x < 0$. Перейдём в первом логарифме к основанию $2$: $$ \log_4(-x) = \frac{\log_2(-x)}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2(-x) $$ Приведём подобные слагаемые: $$ f(x) = \frac{1}{2}\log_2(-x) + \log_2(-x) = \frac{3}{2}\log_2(-x) $$ Найдём производную сложной функции, помня, что $(-x)' = -1$: $$ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(-x)\ln 2} \cdot (-x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(-x)\ln 2} \cdot (-1) = \frac{3}{2x \ln 2} $$ Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2x \ln 2}$. --- **в)** $f(x) = \ln(2x)$ Область определения функции: $2x > 0 \iff x > 0$. Применяем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$: $$ f'(x) = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} $$ *(Способ через свойства логарифма: $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, тогда $f'(x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$)*. Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$. --- **г)** $f(x) = \ln(5x - 10)$ Область определения функции: $5x - 10 > 0 \iff 5x > 10 \iff x > 2$. Найдём производную сложной функции: $$ f'(x) = \frac{1}{5x - 10} \cdot (5x - 10)' = \frac{5}{5x - 10} = \frac{5}{5(x - 2)} = \frac{1}{x - 2} $$ Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x - 2}$.