ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 24

a) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9}$ Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $$ y = \sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3| $$ График данной функции получается сдвигом графика функции $y = |x|$ вдоль оси $Ox$ на $3$ единицы влево. * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Вершина графика находится в точке $(-3; 0)$. * При $x \ge -3$: $y = x + 3$ (луч, направленный вправо и вверх). * При $x < -3$: $y = -x - 3$ (луч, направленный влево и вверх). Таблица значений для построения: | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | График представляет собой угол («галочку») с вершиной в точке $(-3; 0)$. --- b) $y = \sqrt{-x^2 + x + 6}$ 1. Найдём область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ -x^2 + x + 6 \ge 0 \iff x^2 - x - 6 \le 0 $$ Корни квадратного трёхчлена: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$. $$ (x + 2)(x - 3) \le 0 \implies x \in [-2; 3] $$ 2. По определению квадратного корня $y \ge 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ y^2 = -x^2 + x + 6 $$ $$ x^2 - x + y^2 = 6 $$ Выделим полный квадрат по переменной $x$: $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + y^2 = 6 $$ $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 $$ Уравнение $\left(x - 0{,}5\right)^2 + y^2 = 2{,}5^2$ задаёт окружность с центром в точке $(0{,}5; 0)$ и радиусом $R = 2{,}5$. Поскольку $y \ge 0$, графиком исходной функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0{,}5; 0)$ и радиусом $R = 2{,}5$. * Область определения: $D(y) = [-2; 3]$. * Множество значений: $E(y) = [0; 2{,}5]$. Ключевые точки для построения: * крайняя левая точка: $(-2; 0)$; * крайняя правая точка: $(3; 0)$; * наивысшая точка (вершина): $(0{,}5; 2{,}5)$; * дополнительные точки: $(-1; 2)$, $(2; 2)$, $(0; \sqrt{6})$. --- c) $y = \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ Преобразуем выражение под корнем: $$ 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 $$ Тогда: $$ y = \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1| $$ * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Вершина графика: $2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5$, точка $(0{,}5; 0)$. * При $x \ge 0{,}5$: $y = 2x - 1$. * При $x < 0{,}5$: $y = -(2x - 1) = -2x + 1$. Таблица значений для построения: | $x$ | $-1$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $1$ | $0$ | $1$ | $3$ | График представляет собой угол («галочку») с вершиной в точке $(0{,}5; 0)$. --- d) $y = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}$ 1. Найдём область определения: $$ -x^2 + 2x + 8 \ge 0 \iff x^2 - 2x - 8 \le 0 $$ Корни квадратного трёхчлена: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. $$ (x + 2)(x - 4) \le 0 \implies x \in [-2; 4] $$ 2. При $y \ge 0$ возведём обе части уравнения в квадрат: $$ y^2 = -x^2 + 2x + 8 $$ $$ x^2 - 2x + y^2 = 8 $$ Выделим полный квадрат по переменной $x$: $$ (x - 1)^2 - 1 + y^2 = 8 $$ $$ (x - 1)^2 + y^2 = 9 = 3^2 $$ Уравнение $(x - 1)^2 + y^2 = 3^2$ задаёт окружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R = 3$. С учётом условия $y \ge 0$, графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R = 3$. * Область определения: $D(y) = [-2; 4]$. * Множество значений: $E(y) = [0; 3]$. Ключевые точки для построения: * крайняя левая точка: $(-2; 0)$; * крайняя правая точка: $(4; 0)$; * наивысшая точка: $(1; 3)$; * точки пересечения с осью ординат и симметричная ей: $(0; \sqrt{8}) \approx (0; 2{,}83)$ и $(2; \sqrt{8}) \approx (2; 2{,}83)$.