ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 23

**а)** **Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции):** Если функция $f(x)$ имеет производную в точке $x$, то она непрерывна в этой точке. **б)** Обратное утверждение **неверно**. Если функция непрерывна в некоторой точке, то отсюда не следует, что она имеет в этой точке производную. **Контрпример:** Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$ в точке $x = 0$. 1. Функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $x = 0$, так как: $$ \lim_{x \to 0} |x| = |0| = 0 = f(0) $$ 2. Проверим существование производной в этой точке по определению. Для этого найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при $\Delta x \to 0$: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \frac{|\Delta x|}{\Delta x} $$ Если $\Delta x > 0$, то $\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$, поэтому: $$ \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1 $$ Если $\Delta x < 0$, то $\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$, поэтому: $$ \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1 $$ Так как односторонние пределы не совпадают, предел отношения при $\Delta x \to 0$ не существует. Следовательно, функция $f(x) = |x|$ не имеет производной в точке $x = 0$.