ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 3 - 20

### 3.20* **а) $y = \cos(\arccos x)$** 1. Область определения: выражение $\arccos x$ определено при $x \in [-1; 1]$. Косинус определен для любых значений, поэтому: $$ D(y) = [-1; 1] $$ 2. Упрощение выражения: по определению арккосинуса для любого $x \in [-1; 1]$ справедливо равенство: $$ \cos(\arccos x) = x $$ 3. График: отрезок прямой $y = x$ с концами в точках $(-1; -1)$ и $(1; 1)$. --- **б) $y = \sin(\arccos x)$** 1. Область определения: $x \in [-1; 1]$, то есть: $$ D(y) = [-1; 1] $$ 2. Упрощение выражения: пусть $\alpha = \arccos x$. По определению $\alpha \in [0; \pi]$, следовательно, $\sin \alpha \ge 0$. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $$ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 - x^2} $$ 3. График: верхняя полуокружность радиуса $R = 1$ с центром в начале координат $(0; 0)$ и концами в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$. --- **в) $y = \tg(\arccos x)$** 1. Область определения: арккосинус определен при $x \in [-1; 1]$. Тангенс угла $\alpha = \arccos x$ не определен, когда $\alpha = \frac{\pi}{2}$, то есть $\arccos x = \frac{\pi}{2} \iff x = 0$. Значит: $$ D(y) = [-1; 0) \cup (0; 1] $$ 2. Упрощение выражения: $$ y = \frac{\sin(\arccos x)}{\cos(\arccos x)} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $$ 3. График: - Функция нечетная: график симметричен относительно начала координат. - При $x \in (0; 1]$ функция убывает от $+\infty$ до $0$, проходит через точку $(1; 0)$. Прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота при $x \to 0^+$. - При $x \in [-1; 0)$ функция убывает от $0$ до $-\infty$, проходит через точку $(-1; 0)$, прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота при $x \to 0^-$. --- **г) $y = \ctg(\arccos x)$** 1. Область определения: арккосинус определен при $x \in [-1; 1]$. Котангенс угла $\alpha = \arccos x$ не определен, когда $\alpha = 0$ или $\alpha = \pi$, то есть при $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно: $$ D(y) = (-1; 1) $$ 2. Упрощение выражения: $$ y = \frac{\cos(\arccos x)}{\sin(\arccos x)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $$ 3. График: - Функция нечетная, определена на интервале $(-1; 1)$. - Проходит через начало координат $(0; 0)$. - Функция строго возрастает на всем интервале: при $x \to 1^-$ $y \to +\infty$, при $x \to -1^+$ $y \to -\infty$. - Прямые $x = -1$ и $x = 1$ являются вертикальными асимптотами. --- **д) $y = \tg(\arctg x)$** 1. Область определения: выражение $\arctg x$ определено при всех $x \in \mathbb{R}$ и принимает значения в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. На этом интервале тангенс определен везде, поэтому: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: по определению арктангенса: $$ \tg(\arctg x) = x $$ 3. График: прямая линия $y = x$, проходящая через начало координат под углом $45^\circ$ к оси $Ox$. --- **е) $y = \ctg(\arctg x)$** 1. Область определения: $\arctg x$ определен при всех $x \in \mathbb{R}$. Котангенс угла $\alpha = \arctg x$ не определен, когда $\alpha = 0$, то есть $\arctg x = 0 \iff x = 0$. Таким образом: $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: для $x \neq 0$: $$ y = \frac{1}{\tg(\arctg x)} = \frac{1}{x} $$ 3. График: стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, расположенная в I и III координатных четвертях с асимптотами $x = 0$ и $y = 0$. --- **ж) $y = \sin(\arctg x)$** 1. Область определения: арктангенс определен на всей числовой прямой, синус также определен везде, значит: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: пусть $\alpha = \arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Так как $\cos \alpha > 0$ на этом промежутке, то $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Тогда: $$ \sin \alpha = \tg \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ $$ y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3. График: - Функция нечетная, определена на $\mathbb{R}$, проходит через точку $(0; 0)$. - Строго возрастает на всей области определения. - Горизонтальные асимптоты: $y = 1$ при $x \to +\infty$ и $y = -1$ при $x \to -\infty$. - Область значений: $E(y) = (-1; 1)$. --- **з) $y = \cos(\arctg x)$** 1. Область определения: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: пусть $\alpha = \arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Поскольку косинус положителен на этом интервале: $$ y = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3. График: - Функция четная: график симметричен относительно оси $Oy$. - Принимает наибольшее значение в точке $(0; 1)$. - При $x \to \pm\infty$ значения функции стремятся к нулю: горизонтальная асимптота $y = 0$. - Область значений: $E(y) = (0; 1]$. --- **и) $y = \ctg(\arcctg x)$** 1. Область определения: арккотангенс определен при всех $x \in \mathbb{R}$ и принимает значения в интервале $(0; \pi)$. На этом интервале котангенс определен всюду, следовательно: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: по определению арккотангенса: $$ \ctg(\arcctg x) = x $$ 3. График: прямая линия $y = x$ на всей плоскости. --- **к) $y = \tg(\arcctg x)$** 1. Область определения: арккотангенс определен при всех $x \in \mathbb{R}$. Тангенс угла $\alpha = \arcctg x$ не определен, когда $\alpha = \frac{\pi}{2}$, то есть при $\arcctg x = \frac{\pi}{2} \iff x = 0$. Значит: $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: для $x \neq 0$: $$ y = \frac{1}{\ctg(\arcctg x)} = \frac{1}{x} $$ 3. График: гипербола $y = \frac{1}{x}$ с ветвями в I и III четвертях. --- **л) $y = \sin(\arcctg x)$** 1. Область определения: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: пусть $\alpha = \arcctg x \in (0; \pi)$. Так как $\alpha \in (0; \pi)$, то $\sin \alpha > 0$. Из тождества $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ получаем: $$ y = \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3. График: колоколообразная кривая, совпадающая с графиком пункта **з)**: четная функция, максимум в точке $(0; 1)$, горизонтальная асимптота $y = 0$ при $x \to \pm\infty$. --- **м) $y = \cos(\arcctg x)$** 1. Область определения: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Упрощение выражения: пусть $\alpha = \arcctg x \in (0; \pi)$. Так как $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, то: $$ y = \cos \alpha = \ctg \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3. График: гладкая возрастающая кривая, совпадающая с графиком пункта **ж)**: нечетная функция, проходит через точку $(0; 0)$, имеет горизонтальные асимптоты $y = 1$ при $x \to +\infty$ и $y = -1$ при $x \to -\infty$.