ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 3 - 19

**а)** Пусть $\alpha = \arccos x$, где $x \in [-1; 1]$. По определению арккосинуса, $\alpha \in [0; \pi]$ и $\cos \alpha = x$. 1) Отсюда сразу получаем: $$ \cos(\arccos x) = \cos \alpha = x $$ 2) Так как $\alpha \in [0; \pi]$, то $\sin \alpha \ge 0$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, находим: $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - x^2} $$ Следовательно: $$ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} $$ Равенства доказаны. --- **б)** Пусть $\alpha = \arccos x$. Для $x \in (-1; 1)$ угол $\alpha \in (0; \pi)$, следовательно, $\sin \alpha \neq 0$ и котангенс определен. По определению котангенса и результатам пункта **а)**: $$ \operatorname{ctg}(\arccos x) = \frac{\cos(\arccos x)}{\sin(\arccos x)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $$ Равенство доказано. --- **в)** Пусть $\alpha = \arccos x$. Для $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$ имеем $\cos \alpha = x \neq 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$, значит, тангенс определен. По определению тангенса и результатам пункта **а)**: $$ \operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sin(\arccos x)}{\cos(\arccos x)} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $$ Равенство доказано. --- **г)** Пусть $\beta = \operatorname{arctg} x$, где $x \in \mathbb{R}$. По определению арктангенса, $\beta \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ и $\operatorname{tg} \beta = x$. 1) Отсюда сразу получаем: $$ \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = \operatorname{tg} \beta = x $$ 2) Так как $\beta \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, косинус в этой четверти положителен: $\cos \beta > 0$. Воспользуемся формулой $1 + \operatorname{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$: $$ \cos^2 \beta = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \beta} = \frac{1}{1 + x^2} $$ Так как $\cos \beta > 0$: $$ \cos(\operatorname{arctg} x) = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3) По формуле $\sin \beta = \operatorname{tg} \beta \cdot \cos \beta$: $$ \sin(\operatorname{arctg} x) = \sin \beta = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ Равенства доказаны. --- **д)** Для любого $x \neq 0$ аргумент $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x \neq 0$. Используя формулу связи тангенса и котангенса $\operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}$ и результат пункта **г)**: $$ \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)} = \frac{1}{x} $$ Равенство доказано. --- **е)** В условии пункта под знаком тригонометрических функций подразумевается арккотангенс: $\operatorname{arcctg} x$. Пусть $\gamma = \operatorname{arcctg} x$, где $x \in \mathbb{R}$. По определению арккотангенса, $\gamma \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg} \gamma = x$. 1) Отсюда сразу получаем: $$ \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x) = \operatorname{ctg} \gamma = x $$ 2) Так как $\gamma \in (0; \pi)$, то синус положителен: $\sin \gamma > 0$. Воспользуемся тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2 \gamma = \frac{1}{\sin^2 \gamma}$: $$ \sin^2 \gamma = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \gamma} = \frac{1}{1 + x^2} $$ Так как $\sin \gamma > 0$: $$ \sin(\operatorname{arcctg} x) = \sin \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 3) По формуле $\cos \gamma = \operatorname{ctg} \gamma \cdot \sin \gamma$: $$ \cos(\operatorname{arcctg} x) = \cos \gamma = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$ Равенства доказаны. --- **ж)** Для любого $x \neq 0$ значение $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x) = x \neq 0$. Используя соотношение между тангенсом и котангенсом $\operatorname{tg} \gamma = \frac{1}{\operatorname{ctg} \gamma}$ и результат пункта **е)**: $$ \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x)} = \frac{1}{x} $$ Равенство доказано.