ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 3 - 18

**3.18** Пусть $\alpha = \arctg x$. По определению арктангенса: 1) $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$; 2) $\tg \alpha = x$. Рассмотрим угол $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Покажем, что $\beta = \operatorname{arcctg} x$. 1. Оценим границы для угла $\beta$: Так как $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, умножим неравенство на $-1$: $$ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < \frac{\pi}{2} $$ Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{2}$: $$ 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \pi $$ Таким образом, $\beta \in (0; \pi)$. 2. Найдем котангенс угла $\beta$, применив формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tg \alpha$: $$ \operatorname{ctg} \beta = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tg \alpha = x $$ Так как $\beta \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg} \beta = x$, то по определению арккотангенса: $$ \beta = \operatorname{arcctg} x $$ Подставим выражение для $\beta$: $$ \frac{\pi}{2} - \alpha = \operatorname{arcctg} x $$ $$ \alpha + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} $$ Так как $\alpha = \arctg x$, получаем: $$ \arctg x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} $$ Равенство справедливо для любого $x \in \mathbb{R}$, что и требовалось доказать.