ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 259

Пусть $p_1$ рублей — цена одного литра бензина в первой бочке, а $p_2$ рублей — цена одного литра бензина во второй бочке, причём $p_1 \ne p_2$. Пусть из каждой бочки перелили по $x$ литров бензина ($0 < x < 180$). После переливания: 1) В первой бочке осталось $(220 - x)$ л бензина по цене $p_1$ и добавилось $x$ л бензина по цене $p_2$. Общий объём смеси в первой бочке составляет: $$ (220 - x) + x = 220\text{ л.} $$ Стоимость всей смеси в первой бочке равна: $$ (220 - x)p_1 + xp_2\text{ руб.} $$ Цена одного литра бензина в первой бочке стала равна: $$ \frac{(220 - x)p_1 + xp_2}{220}\text{ руб.} $$ 2) Во второй бочке осталось $(180 - x)$ л бензина по цене $p_2$ и добавилось $x$ л бензина по цене $p_1$. Общий объём смеси во второй бочке составляет: $$ (180 - x) + x = 180\text{ л.} $$ Стоимость всей смеси во второй бочке равна: $$ xp_1 + (180 - x)p_2\text{ руб.} $$ Цена одного литра бензина во второй бочке стала равна: $$ \frac{xp_1 + (180 - x)p_2}{180}\text{ руб.} $$ По условию задачи цена одного литра бензина в обеих бочках стала одинаковой. Составим уравнение: $$ \frac{(220 - x)p_1 + xp_2}{220} = \frac{xp_1 + (180 - x)p_2}{180} $$ Преобразуем почленно обе части уравнения: $$ \frac{220 - x}{220}p_1 + \frac{x}{220}p_2 = \frac{x}{180}p_1 + \frac{180 - x}{180}p_2 $$ $$ \left(1 - \frac{x}{220}\right)p_1 + \frac{x}{220}p_2 = \frac{x}{180}p_1 + \left(1 - \frac{x}{180}\right)p_2 $$ Соберём слагаемые с $p_1$ в левой части, а с $p_2$ — в правой: $$ \left(1 - \frac{x}{220} - \frac{x}{180}\right)p_1 = \left(1 - \frac{x}{180} - \frac{x}{220}\right)p_2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель: $$ \left(1 - \frac{x}{220} - \frac{x}{180}\right)(p_1 - p_2) = 0 $$ По условию задачи бензин был разной цены, значит, $p_1 \ne p_2$, откуда $p_1 - p_2 \ne 0$. Следовательно: $$ 1 - \frac{x}{220} - \frac{x}{180} = 0 $$ $$ x\left(\frac{1}{220} + \frac{1}{180}\right) = 1 $$ $$ x \cdot \frac{180 + 220}{220 \cdot 180} = 1 $$ $$ x \cdot \frac{400}{39600} = 1 $$ $$ x \cdot \frac{1}{99} = 1 $$ $$ x = 99 $$ Значит, из каждой бочки перелили по 99 литров бензина. Ответ: по 99 л.