ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 258

Пусть вместимость первого бочонка составляет $m$ л, а второго — $n$ л. Предполагается, что бочонки изначально заполнены вином полностью. Обозначим: - $p_1$ — цена за 1 литр вина в первом бочонке; - $p_2$ — цена за 1 литр вина во втором бочонке (по условию вина разной цены, поэтому $p_1 \neq p_2$); - $x$ — искомое количество вина (в литрах), которое переливают из каждого бочонка в другой. После того как из каждого бочонка отлили по $x$ л вина и перелили в другой бочонок: 1) В первом бочонке осталось $(m - x)$ л вина ценой $p_1$ и добавилось $x$ л вина ценой $p_2$. Общий объём вина в первом бочонке равен $(m - x) + x = m$ л. Стоимость вина в первом бочонке равна $(m - x)p_1 + x p_2$. Тогда новая цена одного литра вина в первом бочонке равна: $$ C_1 = \frac{(m - x)p_1 + x p_2}{m} $$ 2) Во втором бочонке осталось $(n - x)$ л вина ценой $p_2$ и добавилось $x$ л вина ценой $p_1$. Общий объём вина во втором бочонке равен $(n - x) + x = n$ л. Стоимость вина во втором бочонке равна $(n - x)p_2 + x p_1$. Тогда новая цена одного литра вина во втором бочонке равна: $$ C_2 = \frac{(n - x)p_2 + x p_1}{n} $$ По условию задачи цена за один литр вина в обоих бочонках должна стать одинаковой: $C_1 = C_2$. Составим уравнение: $$ \frac{(m - x)p_1 + x p_2}{m} = \frac{(n - x)p_2 + x p_1}{n} $$ Умножим обе части уравнения на $mn \neq 0$: $$ n((m - x)p_1 + x p_2) = m((n - x)p_2 + x p_1) $$ Раскроем скобки: $$ mn p_1 - nx p_1 + nx p_2 = mn p_2 - mx p_2 + mx p_1 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ mn p_1 - mn p_2 = mx p_1 + nx p_1 - mx p_2 - nx p_2 $$ $$ mn(p_1 - p_2) = x(m + n)p_1 - x(m + n)p_2 $$ $$ mn(p_1 - p_2) = x(m + n)(p_1 - p_2) $$ Так как вина имеют разную цену, то $p_1 \neq p_2$, а значит, разность $p_1 - p_2 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(p_1 - p_2)$: $$ mn = x(m + n) $$ Выразим $x$: $$ x = \frac{mn}{m + n} $$ Так как $m > 0$ и $n > 0$, значение $x = \frac{mn}{m + n} < m$ и $x = \frac{mn}{m + n} < n$, следовательно, такое переливание всегда осуществимо. Ответ: по $\dfrac{mn}{m + n}$ литра.