ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 18 - 4

**a)** $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$ Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: $1 - 5 + 8 - 4 = 0$. Следовательно, одним из корней является $x = 1$. Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки: $$ x^3 - x^2 - 4x^2 + 4x + 4x - 4 = 0 $$ $$ x^2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 - 4x + 4) = 0 $$ Применим формулу квадрата разности ко второму множителю: $$ (x - 1)(x - 2)^2 = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$; 2) $(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Ответ: $1$; $2$. --- **b)** $x^3 - 1 = 0$ Разложим левую часть по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$ 1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 2) $x^2 + x + 1 = 0$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $1$. --- **d)** $x^4 + 2x^2 + 3 = 0$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 + 2t + 3 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 $$ Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней (также можно заметить, что при любых действительных $x$ выполнено $x^4 \ge 0$ и $2x^2 \ge 0$, откуда $x^4 + 2x^2 + 3 \ge 3 > 0$). Ответ: решений нет. --- **e)** $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 2, \pm 4$). Проверим $x = -1$: $$ (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 $$ Значит, $x = -1$ — корень уравнения, и многочлен делится на $(x + 1)$. Сгруппируем слагаемые: $$ x^3 + 1 - 3x^2 + 3 = 0 $$ $$ (x^3 + 1) - 3(x^2 - 1) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^2 - x + 1) - 3(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $$ (x + 1)(x^2 - x + 1 - 3x + 3) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = 0 $$ $$ (x + 1)(x - 2)^2 = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$; 2) $(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Ответ: $-1$; $2$. --- **r)** $x^3 + 1 = 0$ Разложим левую часть по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 $$ 1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ 2) $x^2 - x + 1 = 0$ Найдем дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $-1$.