ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 18 - 7

Для записи комплексного числа, заданного в показательной форме $z = r e^{i\varphi}$, в алгебраической форме $z = a + bi$, используется формула Эйлера: $$ e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi $$ Тогда: $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\cos\varphi + i r\sin\varphi $$ Перейдём к выполнению пунктов задания: a) $e^{i\frac{\pi}{4}}$ Здесь $r = 1$, $\varphi = \frac{\pi}{4}$. $$ e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. b) $2e^{i\frac{\pi}{3}}$ Здесь $r = 2$, $\varphi = \frac{\pi}{3}$. $$ 2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}i $$ Ответ: $1 + \sqrt{3}i$. c) $4e^{i\frac{\pi}{2}}$ Здесь $r = 4$, $\varphi = \frac{\pi}{2}$. $$ 4e^{i\frac{\pi}{2}} = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 4(0 + i \cdot 1) = 4i $$ Ответ: $4i$. d) $6e^{i\frac{3\pi}{4}}$ Здесь $r = 6$, $\varphi = \frac{3\pi}{4}$. $$ 6e^{i\frac{3\pi}{4}} = 6\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) = 6\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i $$ Ответ: $-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$. e) $7e^{i\frac{2\pi}{3}}$ Здесь $r = 7$, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$. $$ 7e^{i\frac{2\pi}{3}} = 7\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 7\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{7}{2} + \frac{7\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: $-\frac{7}{2} + \frac{7\sqrt{3}}{2}i$. f) $8e^{i\frac{3\pi}{2}}$ Здесь $r = 8$, $\varphi = \frac{3\pi}{2}$. $$ 8e^{i\frac{3\pi}{2}} = 8\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = 8(0 + i(-1)) = -8i $$ Ответ: $-8i$. g) $9e^{2i\pi}$ Здесь $r = 9$, $\varphi = 2\pi$. $$ 9e^{2i\pi} = 9(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 9(1 + i \cdot 0) = 9 $$ Ответ: $9$.