ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 17

а) Сравним числа $\frac{3\pi}{10}$ и $\arccos \frac{4}{5}$. Воспользуемся промежуточным числом $\frac{\pi}{4}$. Так как $\frac{3\pi}{10} = \frac{6\pi}{20}$, а $\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{20}$, то: $$ \frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{4} $$ Сравним $\arccos \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{4}$. Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{0{,}5}$. Так как $\frac{4}{5} = 0{,}8 = \sqrt{0{,}64}$, а $0{,}64 > 0{,}5$, то: $$ \frac{4}{5} > \cos \frac{\pi}{4} $$ Функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на отрезке $[-1; 1]$, следовательно, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $$ \arccos \frac{4}{5} < \arccos \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} $$ Объединяя полученные неравенства $\frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4} > \arccos \frac{4}{5}$, получаем: $$ \frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5} $$ Ответ: $\frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5}$. б) Сравним числа $\frac{2\pi}{10}$ и $\arccos \frac{3}{10}$. Упростим первую дробь: $\frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$. Воспользуемся промежуточным числом $\frac{\pi}{3}$. Сравним $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{3}$: $$ \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3} $$ Сравним $\arccos \frac{3}{10}$ и $\frac{\pi}{3}$. Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$. Так как $\frac{3}{10} < \frac{5}{10}$, то есть $\frac{3}{10} < \cos \frac{\pi}{3}$, а функция $y = \arccos x$ строго убывает на отрезке $[-1; 1]$, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \arccos \frac{3}{10} > \arccos \left( \cos \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{3} $$ Таким образом, имеем $\frac{2\pi}{10} < \frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3} < \arccos \frac{3}{10}$, откуда следует: $$ \frac{2\pi}{10} < \arccos \frac{3}{10} $$ Ответ: $\frac{2\pi}{10} < \arccos \frac{3}{10}$.