ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 16

**а)** Вычислим значение каждого из двух выражений. 1. Первое выражение: $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right)$$ * По формуле $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$: $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ * Преобразуем логарифм, представив основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней числа $3$: $$\log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) = \log_{3^4}(3^{-3}) = -\frac{3}{4} \log_3 3 = -\frac{3}{4}$$ * Перемножим найденные значения: $$\frac{2\pi}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{\pi}{2}$$ 2. Второе выражение: $$\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \ctg \frac{4\pi}{3}$$ * Найдем значение каждого множителя, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций: $$\sin \frac{43\pi}{6} = \sin\left(7\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$ $$\tg\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\tg\left(\frac{8\pi}{3}\right) = -\tg\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = -\tg\frac{2\pi}{3} = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$$ $$\tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$$ $$\ctg \frac{4\pi}{3} = \ctg\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ * Перемножим полученные значения: $$\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{2}$$ 3. Сравним полученные числа $-\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{3}{2}$: Поскольку $\pi > 3$, то $\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2}$, а значит: $$-\frac{\pi}{2} < -\frac{3}{2}$$ Следовательно: $$\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \ctg \frac{4\pi}{3} > \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right)$$ --- **b)** Вычислим значение каждого из двух выражений. 1. Первое выражение: $$\arctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2$$ * По свойству арктангенса $\arctg(-x) = -\arctg x$: $$\arctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\arctg\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi}{6}$$ * Преобразуем логарифм, записав основание и аргумент как степени числа $5$: $$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$$ $$\frac{1}{125} = 5^{-3}$$ $$\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125} = \log_{5^{3/2}}(5^{-3}) = \frac{-3}{\frac{3}{2}} = -3 \cdot \frac{2}{3} = -2$$ * Возведем логарифм в квадрат: $$(-2)^2 = 4$$ * Перемножим найденные величины: $$-\frac{\pi}{6} \cdot 4 = -\frac{2\pi}{3}$$ 2. Второе выражение: $$\cos^2 \frac{31\pi}{6} \cdot \tg \frac{29\pi}{6} \cdot \tg \frac{11\pi}{3}$$ * Найдем значения тригонометрических функций: $$\cos \frac{31\pi}{6} = \cos\left(5\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos^2 \frac{31\pi}{6} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$ $$\tg \frac{29\pi}{6} = \tg\left(4\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \tg \frac{5\pi}{6} = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\tg \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\tg \frac{11\pi}{3} = \tg\left(3\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \tg \frac{2\pi}{3} = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tg \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$$ * Перемножим полученные значения: $$\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4}$$ 3. Сравним полученные числа $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{3}{4}$: Поскольку первое число отрицательное, а второе положительное: $$-\frac{2\pi}{3} < \frac{3}{4}$$ Следовательно: $$\cos^2 \frac{31\pi}{6} \cdot \tg \frac{29\pi}{6} \cdot \tg \frac{11\pi}{3} > \arctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2$$ --- **Ответ:** a) больше $\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \tg^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \ctg \frac{4\pi}{3}$; b) больше $\cos^2 \frac{31\pi}{6} \cdot \tg \frac{29\pi}{6} \cdot \tg \frac{11\pi}{3}$.