ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 20

Пусть искомое натуральное число равно $n$. По условию задачи: 1. Число $n$ при делении на $2$ даёт остаток $1$, то есть $n$ — нечётное число: $$ n = 2p + 1, \quad p \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $$ 2. Число $n$ при делении на $19$ даёт остаток $3$: $$ n = 19k + 3, \quad k \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $$ 3. Число $n$ делится нацело на $7$, то есть кратно $7$: $$ n = 7m, \quad m \in \mathbb{N} $$ Используем второе условие: $$ n = 19k + 3 $$ Так как число $n$ нечётное, а $3$ — нечётное число, то слагаемое $19k$ должно быть чётным. Поскольку $19$ нечётно, число $k$ обязательно должно быть чётным. Пусть $k = 2t$, где $t \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Тогда выражение для $n$ принимает вид: $$ n = 19 \cdot (2t) + 3 = 38t + 3 $$ Число $n$ должно делиться нацело на $7$. Выделим слагаемое, кратное $7$: $$ 38t + 3 = (35t + 3t) + 3 = 35t + (3t + 3) $$ Так как $35t$ делится на $7$, число $n$ делится на $7$ тогда и только тогда, когда выражение $(3t + 3) = 3(t + 1)$ делится на $7$. Поскольку числа $3$ и $7$ взаимно простые, на $7$ должно делиться число $(t + 1)$. Для того чтобы число $n$ было наименьшим натуральным числом, неотрицательное целое число $t$ должно быть наименьшим возможным. Наименьшее целое число $t \ge 0$, при котором $(t + 1)$ делится на $7$, равно: $$ t + 1 = 7 \implies t = 6 $$ Найдём искомое число: $$ n = 38 \cdot 6 + 3 = 228 + 3 = 231 $$ Проверка: - $231 = 2 \cdot 115 + 1$ (остаток $1$ при делении на $2$); - $231 = 19 \cdot 12 + 3$ (остаток $3$ при делении на $19$); - $231 = 7 \cdot 33$ (делится на $7$ нацело). Все условия задачи выполнены. Ответ: 231