ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 156

Решим уравнение: $$ x^2 - \cos 2x^2 + 1 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ x^2 + (1 - \cos 2x^2) = 0 $$ Применим формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$, где $\alpha = x^2$: $$ x^2 + 2\sin^2(x^2) = 0 $$ Оценим слагаемые в левой части уравнения для всех действительных значений $x$: 1. $x^2 \ge 0$; 2. $2\sin^2(x^2) \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} x^2 = 0, \\ 2\sin^2(x^2) = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения системы получаем: $$ x = 0 $$ Подставим найденное значение во второе уравнение системы: $$ 2\sin^2(0^2) = 2\sin^2 0 = 0 $$ Равенство выполняется, следовательно, $x = 0$ является единственным корнем исходного уравнения. Ответ: $0$.