ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 153

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: 1. Из наличия $\sqrt{x}$ и дроби $\frac{6}{x}$ следует, что $x > 0$. 2. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательны: $$ \frac{6}{x} - x - 4 \ge 0 \iff \frac{6 - 4x - x^2}{x} \ge 0 $$ $$ \frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1 \ge 0 \iff \frac{6 - 4x - x^2}{x^2} \ge 0 $$ Так как $x > 0$, оба неравенства равносильны одному: $$ 6 - 4x - x^2 \ge 0 \iff x^2 + 4x - 6 \le 0 $$ Корни уравнения $x^2 + 4x - 6 = 0$: $$ x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - (-6)} = -2 \pm \sqrt{10} $$ С учётом условия $x > 0$, получаем ОДЗ: $$ x \in (0; \sqrt{10} - 2] $$ Преобразуем аргументы тригонометрических функций при $x > 0$: $$ \sqrt{x} \sqrt{\frac{6}{x} - x - 4} = \sqrt{x\left(\frac{6}{x} - x - 4\right)} = \sqrt{6 - 4x - x^2} $$ $$ x \sqrt{\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1} = \sqrt{x^2\left(\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1\right)} = \sqrt{6 - 4x - x^2} $$ Пусть $t = \sqrt{6 - 4x - x^2}$. Так как $6 - 4x - x^2 = 10 - (x + 2)^2$, при $x \in (0; \sqrt{10} - 2]$ значение подкоренного выражения лежит в промежутке $[0; 6)$, следовательно: $$ t \in [0; \sqrt{6}) $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ \sqrt{3} \cos(\pi t) + 3 \sin(\pi t) = \sqrt{12} $$ Поскольку $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, разделим обе части уравнения на $2\sqrt{3}$: $$ \frac{1}{2} \cos(\pi t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\pi t) = 1 $$ Используем формулу косинуса разности $\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta)$, учитывая, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \cos\left(\pi t - \frac{\pi}{3}\right) = 1 $$ Отсюда: $$ \pi t - \frac{\pi}{3} = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ t = \frac{1}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ С учетом условия $t \in [0; \sqrt{6})$ (где $\sqrt{6} \approx 2{,}45$): - при $k = 0$: $t_1 = \frac{1}{3} \in [0; \sqrt{6})$; - при $k = 1$: $t_2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$. Так как $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9} < 6$, то $\frac{7}{3} \in [0; \sqrt{6})$; - при остальных целых значениях $k$ значения $t$ выходят за пределы промежутка $[0; \sqrt{6})$. Вернемся к переменной $x$, выразив её из равенства $t = \sqrt{6 - 4x - x^2}$: $$ 6 - 4x - x^2 = t^2 \iff (x + 2)^2 = 10 - t^2 $$ Так как $x > 0$, то $x + 2 > 2$, откуда: $$ x = \sqrt{10 - t^2} - 2 $$ 1. При $t = \frac{1}{3}$: $$ x = \sqrt{10 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} - 2 = \sqrt{10 - \frac{1}{9}} - 2 = \sqrt{\frac{89}{9}} - 2 = \frac{\sqrt{89} - 6}{3} $$ 2. При $t = \frac{7}{3}$: $$ x = \sqrt{10 - \left(\frac{7}{3}\right)^2} - 2 = \sqrt{10 - \frac{49}{9}} - 2 = \sqrt{\frac{41}{9}} - 2 = \frac{\sqrt{41} - 6}{3} $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ, так как $6 < \sqrt{41} < \sqrt{89} < \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$. Ответ: $\frac{\sqrt{41} - 6}{3}; \; \frac{\sqrt{89} - 6}{3}$.