ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 154

Найдем корни уравнения: $$ 4x - 3|x - 1| = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ)** Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 5x + 14 \ge 0 \\ 5x - 14 \ge 0 \end{cases} \iff 5x \ge 14 \iff x \ge 2{,}8 $$ **2. Раскрытие модуля** При $x \ge 2{,}8$ выражение под знаком модуля положительно: $$ x - 1 \ge 2{,}8 - 1 = 1{,}8 > 0 $$ Следовательно, $|x - 1| = x - 1$. Подставим это в исходное уравнение: $$ 4x - 3(x - 1) = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1 $$ $$ x + 3 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1 $$ $$ x + 4 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} $$ **3. Замена переменных** Пусть $u = \sqrt{5x + 14}$ и $v = \sqrt{5x - 14}$, где $u \ge \sqrt{28}$ и $v \ge 0$. Найдем связь между переменными: $$ u^2 - v^2 = (5x + 14) - (5x - 14) = 28 $$ $$ 5x = u^2 - 14 \implies x = \frac{u^2 - 14}{5} $$ Подставим выражение для $x$ в уравнение: $$ \frac{u^2 - 14}{5} + 4 = 4u - 3v $$ Умножим обе части уравнения на $5$: $$ u^2 - 14 + 20 = 20u - 15v $$ $$ u^2 + 6 = 20u - 15v $$ $$ 15v = 20u - u^2 - 6 $$ Так как $v \ge 0$, правая часть должна удовлетворять условию: $$ 20u - u^2 - 6 \ge 0 \iff u^2 - 20u + 6 \le 0 $$ Корни квадратного трехчлена $u^2 - 20u + 6 = 0$: $$ u = 10 \pm \sqrt{100 - 6} = 10 \pm \sqrt{94} $$ Отсюда следует ограничение на $u$: $$ u \le 10 + \sqrt{94} < 10 + 10 = 20 $$ **4. Решение полученной системы** Так как $v^2 = u^2 - 28$, возведем уравнение $15v = 20u - u^2 - 6$ в квадрат: $$ 225v^2 = (u^2 - 20u + 6)^2 $$ $$ 225(u^2 - 28) = (u^2 - 20u + 6)^2 $$ Раскроем скобки в обеих частях: $$ 225u^2 - 6300 = u^4 - 40u^3 + 412u^2 - 240u + 36 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ u^4 - 40u^3 + 187u^2 - 240u + 6336 = 0 $$ Проверим значение $u = 8$: $$ 8^4 - 40 \cdot 8^3 + 187 \cdot 8^2 - 240 \cdot 8 + 6336 = 4096 - 20480 + 11968 - 1920 + 6336 = 0 $$ Значит, $u = 8$ является корнем. Разделим многочлен на $(u - 8)$: $$ (u - 8)(u^3 - 32u^2 - 69u - 792) = 0 $$ Исследуем второй множитель: $$ u^3 - 32u^2 - 69u - 792 = u^2(u - 32) - 69u - 792 $$ Так как по полученному ранее ограничению $u \le 10 + \sqrt{94} < 20$, то: $$ u - 32 < 20 - 32 = -12 < 0 \implies u^2(u - 32) \le 0 $$ С учетом того, что $u \ge \sqrt{28} > 0$, выражения $-69u$ и $-792$ строго отрицательны, поэтому: $$ u^3 - 32u^2 - 69u - 792 < 0 $$ Следовательно, на рассматриваемом промежутке второй множитель не имеет действительных корней. Единственным решением является $u = 8$. **5. Нахождение значения $x$** Вернемся к исходной переменной: $$ \sqrt{5x + 14} = 8 $$ $$ 5x + 14 = 64 $$ $$ 5x = 50 $$ $$ x = 10 $$ Значение $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 \ge 2{,}8$). **Проверка:** Подставим $x = 10$ в исходное уравнение: Левая часть: $$4 \cdot 10 - 3|10 - 1| = 40 - 3 \cdot 9 = 40 - 27 = 13$$ Правая часть: $$4\sqrt{5 \cdot 10 + 14} - 3\sqrt{5 \cdot 10 - 14} - 1 = 4\sqrt{64} - 3\sqrt{36} - 1 = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 6 - 1 = 32 - 18 - 1 = 13$$ $13 = 13$ — верно. Ответ: $10$.