ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 4

### а) $(\sqrt{x^2-81}+2)\log_3|x|+\frac{9}{x}(\sqrt{81-x^2}+1)>4$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} x^2 - 81 \ge 0 \\ 81 - x^2 \ge 0 \\ |x| > 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $$ Из первых двух неравенств следует: $$ \begin{cases} x^2 \ge 81 \\ x^2 \le 81 \end{cases} \implies x^2 = 81 \implies x = \pm 9 $$ При $x = \pm 9$ условия $|x| > 0$ и $x \ne 0$ выполняются. Таким образом, ОДЗ состоит всего из двух значений: $x = 9$ и $x = -9$. Проверим каждое из них: 1. При $x = 9$: $$ \sqrt{9^2-81} = 0, \quad \sqrt{81-9^2} = 0 $$ Подставим в неравенство: $$ (0 + 2)\log_3 9 + \frac{9}{9}(0 + 1) > 4 $$ $$ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 > 4 \implies 5 > 4 \quad \text{— верно.} $$ Значит, $x = 9$ является решением. 2. При $x = -9$: $$ (0 + 2)\log_3 |-9| + \frac{9}{-9}(0 + 1) > 4 $$ $$ 2 \log_3 9 - 1 \cdot 1 > 4 \implies 2 \cdot 2 - 1 > 4 \implies 3 > 4 \quad \text{— неверно.} $$ Значит, $x = -9$ не является решением. **Ответ:** $9$ --- ### б) $(\sqrt{x^2-16}+1)\log_3(x^2-7)-\frac{x}{2}(\sqrt{16-x^2}+3)<0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 16 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} $$ Из первых двух условий получаем: $$ \begin{cases} x^2 \ge 16 \\ x^2 \le 16 \end{cases} \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ При $x = \pm 4$ имеем $x^2 - 7 = 16 - 7 = 9 > 0$, поэтому логарифм определен. Значит, ОДЗ состоит из точек $x = 4$ и $x = -4$. Проверим эти значения: 1. При $x = 4$: $$ \sqrt{4^2-16} = 0, \quad \sqrt{16-4^2} = 0 $$ Подставим в неравенство: $$ (0 + 1)\log_3(16 - 7) - \frac{4}{2}(0 + 3) < 0 $$ $$ 1 \cdot \log_3 9 - 2 \cdot 3 < 0 \implies 2 - 6 < 0 \implies -4 < 0 \quad \text{— верно.} $$ Значит, $x = 4$ является решением. 2. При $x = -4$: $$ (0 + 1)\log_3(16 - 7) - \frac{-4}{2}(0 + 3) < 0 $$ $$ 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 < 0 \implies 2 + 6 < 0 \implies 8 < 0 \quad \text{— неверно.} $$ Значит, $x = -4$ не является решением. **Ответ:** $4$ --- ### в) $\sqrt{x^2-7x+10}>\lg(\sqrt{7x-x^2-10}+2)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} x^2 - 7x + 10 \ge 0 \\ 7x - x^2 - 10 \ge 0 \\ \sqrt{7x-x^2-10} + 2 > 0 \end{cases} $$ Заметим, что подкоренные выражения противоположны по знаку: $7x - x^2 - 10 = -(x^2 - 7x + 10)$. Система: $$ \begin{cases} x^2 - 7x + 10 \ge 0 \\ -(x^2 - 7x + 10) \ge 0 \end{cases} $$ совместна тогда и только тогда, когда: $$ x^2 - 7x + 10 = 0 $$ По теореме Виета корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. При этих значениях $x$ аргумент десятичного логарифма равен $\sqrt{0} + 2 = 2 > 0$, следовательно, логарифм определен. Подставим найденные значения в исходное неравенство: - Левая часть при $x = 2$ и $x = 5$ равна: $\sqrt{0} = 0$. - Правая часть равна: $\lg(0 + 2) = \lg 2$. Неравенство принимает вид: $$ 0 > \lg 2 $$ Так как $2 > 1$, то $\lg 2 > 0$. Неравенство $0 > \lg 2$ неверно, поэтому ни $x = 2$, ни $x = 5$ не являются решениями. **Ответ:** решений нет --- ### г) $\sqrt{x^2+7x+10}<\lg(-5x+\sqrt{-x^2-5x-6})$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: 1. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными: $$ x^2 + 7x + 10 \ge 0 \implies (x + 2)(x + 5) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty) $$ $$ -x^2 - 5x - 6 \ge 0 \implies x^2 + 5x + 6 \le 0 \implies (x + 2)(x + 3) \le 0 \implies x \in [-3; -2] $$ 2. Найдем пересечение полученных промежутков: $$ \bigl((-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)\bigr) \cap [-3; -2] = \{-2\} $$ 3. Проверим условие для аргумента логарифма при $x = -2$: $$ -5x + \sqrt{-x^2 - 5x - 6} = -5(-2) + \sqrt{-(-2)^2 - 5(-2) - 6} = 10 + \sqrt{0} = 10 > 0 $$ Условие выполнено, логарифм определен. Значит, ОДЗ состоит из единственной точки $x = -2$. Подставим $x = -2$ в исходное неравенство: $$ \sqrt{(-2)^2 + 7(-2) + 10} < \lg\bigl(-5(-2) + 0\bigr) $$ $$ \sqrt{4 - 14 + 10} < \lg 10 $$ $$ 0 < 1 \quad \text{— верно.} $$ Следовательно, $x = -2$ является решением неравенства. **Ответ:** $-2$