ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 7

а) Решим уравнение: $$ 9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x + 1 = 0 $$ Представим степени с основаниями $9$, $6$ и $4$ через степени с основаниями $3$ и $2$: $$ (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 1 = 0 $$ Сделаем замену переменных: пусть $u = 3^x$ и $v = 2^x$ (где $u > 0, v > 0$). Уравнение принимает вид: $$ u^2 - 2uv + 2v^2 - 2v + 1 = 0 $$ Представим $2v^2$ как $v^2 + v^2$ и сгруппируем слагаемые, выделяя полные квадраты: $$ (u^2 - 2uv + v^2) + (v^2 - 2v + 1) = 0 $$ $$ (u - v)^2 + (v - 1)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} u - v = 0 \\ v - 1 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения получаем: $$ v = 1 $$ Подставим $v = 1$ в первое уравнение: $$ u - 1 = 0 \implies u = 1 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ \begin{cases} 3^x = 1 \\ 2^x = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ x = 0 \end{cases} $$ Оба условия выполняются при $x = 0$. Ответ: $0$. --- б) Решим уравнение: $$ 25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0 $$ Преобразуем слагаемое $29 \cdot 4^{x-1}$: $$ 29 \cdot 4^{x-1} = 29 \cdot \frac{4^x}{4} = \frac{29}{4} \cdot (2^x)^2 $$ Перепишем исходное уравнение, используя степени с основаниями $5$ и $2$: $$ (5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{29}{4} \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0 $$ Сделаем замену переменных: пусть $u = 5^x$ и $v = 2^x$ (где $u > 0, v > 0$). Получаем: $$ u^2 - 5uv + \frac{29}{4}v^2 - 4v + 4 = 0 $$ Выделим полный квадрат с переменной $u$: $$ u^2 - 2 \cdot u \cdot \left(\frac{5}{2}v\right) + \left(\frac{5}{2}v\right)^2 = \left(u - \frac{5}{2}v\right)^2 $$ Заметим, что $\left(\frac{5}{2}v\right)^2 = \frac{25}{4}v^2$. Представим $\frac{29}{4}v^2$ как $\frac{25}{4}v^2 + v^2$: $$ \left(u^2 - 5uv + \frac{25}{4}v^2\right) + (v^2 - 4v + 4) = 0 $$ $$ \left(u - \frac{5}{2}v\right)^2 + (v - 2)^2 = 0 $$ Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: $$ \begin{cases} u - \dfrac{5}{2}v = 0 \\ v - 2 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим: $$ v = 2 $$ Подставляем $v = 2$ в первое уравнение: $$ u - \frac{5}{2} \cdot 2 = 0 \implies u - 5 = 0 \implies u = 5 $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ \begin{cases} 5^x = 5 \\ 2^x = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ x = 1 \end{cases} $$ Оба равенства выполняются при $x = 1$. Ответ: $1$.