ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 3

### 13.3 **а)** $e^{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{x^2 - 7x - 8} \ge -6$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 7x - 8 \ge 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ x^2 \le 1 \iff -1 \le x \le 1 $$ Решим второе неравенство: найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$. $$ (x + 1)(x - 8) \ge 0 \iff x \in (-\infty; -1] \cup [8; +\infty) $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in [-1; 1] \\ x \in (-\infty; -1] \cup [8; +\infty) \end{cases} \iff x = -1 $$ ОДЗ состоит из единственного значения: $x = -1$. 2. Проверим, является ли $x = -1$ решением исходного неравенства: $$ e^{\sqrt{1 - (-1)^2}} + \sqrt{(-1)^2 - 7 \cdot (-1) - 8} = e^{\sqrt{0}} + \sqrt{1 + 7 - 8} = e^0 + 0 = 1 $$ Неравенство $1 \ge -6$ является верным числовым неравенством. **Ответ:** $-1$ --- **б)** $\pi^{\sqrt{4-x^2}} + \sqrt{x^2 - x - 6} \ge 6$ 1. Найдем ОДЗ неравенства: $$ \begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 \ge 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ x^2 \le 4 \iff x \in [-2; 2] $$ Решим второе неравенство: корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. $$ (x + 2)(x - 3) \ge 0 \iff x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) $$ Пересечем полученные промежутки: $$ [-2; 2] \cap \bigl((-\infty; -2] \cup [3; +\infty)\bigr) = \{-2\} $$ Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки: $x = -2$. 2. Подставим $x = -2$ в неравенство: $$ \pi^{\sqrt{4 - (-2)^2}} + \sqrt{(-2)^2 - (-2) - 6} = \pi^0 + \sqrt{4 + 2 - 6} = 1 + 0 = 1 $$ Проверим условие: $1 \ge 6$ — неверно. Следовательно, решений нет. **Ответ:** решений нет --- **в)** $\sqrt{x^2 - 4x - 5} + \lg(1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10}) \le 6$ 1. Найдем ОДЗ неравенства: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ 8x - 2x^2 + 10 \ge 0 \\ 1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10} > 0 \end{cases} $$ Заметим, что подкоренное выражение второго корня можно преобразовать: $$ 8x - 2x^2 + 10 = -2(x^2 - 4x - 5) $$ Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ -2(x^2 - 4x - 5) \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 4x - 5 \le 0 \end{cases} $$ Оба условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда: $$ x^2 - 4x - 5 = 0 $$ По теореме Виета корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 5$. При этих значениях аргумент логарифма равен $1 + \sqrt{0} = 1 > 0$, то есть условие существования логарифма соблюдается. ОДЗ состоит из двух точек: $x = -1$ и $x = 5$. 2. Подставим найденные значения в исходное неравенство. Так как $x^2 - 4x - 5 = 0$ и $8x - 2x^2 + 10 = 0$ при $x = -1$ и $x = 5$, для обоих чисел значение левой части одинаково: $$ \sqrt{0} + \lg(1 + \sqrt{0}) = 0 + \lg 1 = 0 $$ Неравенство $0 \le 6$ является верным. Значит, оба значения являются решениями. **Ответ:** $-1;\ 5$ --- **г)** $\sqrt{x^2 - x - 6} + 10^{\sqrt{4-x^2}} + 5\lg(12 + x) \le 6$ 1. Найдем ОДЗ неравенства: $$ \begin{cases} x^2 - x - 6 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \\ 12 + x > 0 \end{cases} $$ Решим первые два неравенства: - $x^2 - x - 6 \ge 0 \iff (x + 2)(x - 3) \ge 0 \iff x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$; - $4 - x^2 \ge 0 \iff x \in [-2; 2]$. Пересечение решений первых двух условий: $$ \bigl((-\infty; -2] \cup [3; +\infty)\bigr) \cap [-2; 2] = \{-2\} $$ Проверим третье условие при $x = -2$: $$ 12 + (-2) = 10 > 0 \quad \text{— верно.} $$ Таким образом, ОДЗ состоит из единственной точки: $x = -2$. 2. Подставим $x = -2$ в неравенство: $$ \sqrt{(-2)^2 - (-2) - 6} + 10^{\sqrt{4 - (-2)^2}} + 5\lg(12 - 2) = \sqrt{0} + 10^0 + 5\lg 10 $$ Вычислим значение: $$ 0 + 1 + 5 \cdot 1 = 6 $$ Неравенство $6 \le 6$ является верным. Значит, $x = -2$ является решением. **Ответ:** $-2$