ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 12 - 18

### 12.18 **а)** Решим неравенство: $$ \frac{(x-2)(x^2-2x+11)}{x-7} > 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 2x + 11$ в числителе: найдём его дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 4 - 44 = -40 < 0 $$ Так как старший коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$ и дискриминант $D < 0$, то выражение $x^2 - 2x + 11 > 0$ при всех действительных значениях $x$. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $x^2 - 2x + 11$: $$ \frac{x-2}{x-7} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. 2. Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Отметим точки $x = 2$ и $x = 7$ на числовой прямой (выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки на полученных интервалах: - при $x \in (7; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in (2; 7)$: знак $-$ - при $x \in (-\infty; 2)$: знак $+$ Нам подходят интервалы со знаком $+$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \frac{(x-3)(x^2-5x+8)}{x+1} < 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 5x + 8$: найдём его дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7 < 0 $$ Так как старший коэффициент равен $1 > 0$ и $D < 0$, то $x^2 - 5x + 8 > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Разделим обе части неравенства на $x^2 - 5x + 8 > 0$: $$ \frac{x-3}{x+1} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x = 3$. 2. Нуль знаменателя: $x = -1$. Отметим выколотые точки $x = -1$ и $x = 3$ на числовой прямой и определим знаки: - при $x \in (3; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in (-1; 3)$: знак $-$ - при $x \in (-\infty; -1)$: знак $+$ Нам подходит интервал со знаком $-$. **Ответ:** $x \in (-1; 3)$. --- **в)** Решим неравенство: $$ \frac{(x-3)(x^2-\pi x+5)}{x-4} > 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - \pi x + 5$: найдём его дискриминант: $$ D = (-\pi)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = \pi^2 - 20 $$ Так как $\pi \approx 3{,}14$, то $\pi^2 < 3{,}2^2 = 10{,}24 < 20$. Следовательно: $$ D = \pi^2 - 20 < 0 $$ Старший коэффициент равен $1 > 0$, а дискриминант отрицателен, поэтому трёхчлен $x^2 - \pi x + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Разделим обе части неравенства на $x^2 - \pi x + 5 > 0$: $$ \frac{x-3}{x-4} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x = 3$. 2. Нуль знаменателя: $x = 4$. Отметим выколотые точки $x = 3$ и $x = 4$ на числовой прямой и определим знаки: - при $x \in (4; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in (3; 4)$: знак $-$ - при $x \in (-\infty; 3)$: знак $+$ Нам подходят интервалы со знаком $+$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$. --- **г)** Решим неравенство: $$ \frac{(x+1)(x^2-ex+4)}{x+5} < 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - ex + 4$: найдём его дискриминант: $$ D = (-e)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = e^2 - 16 $$ Так как $e \approx 2{,}718$, то $e^2 < 3^2 = 9 < 16$. Следовательно: $$ D = e^2 - 16 < 0 $$ Старший коэффициент равен $1 > 0$ и $D < 0$, значит, $x^2 - ex + 4 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Разделим обе части неравенства на $x^2 - ex + 4 > 0$: $$ \frac{x+1}{x+5} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x = -1$. 2. Нуль знаменателя: $x = -5$. Отметим выколотые точки $x = -5$ и $x = -1$ на числовой прямой и определим знаки: - при $x \in (-1; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in (-5; -1)$: знак $-$ - при $x \in (-\infty; -5)$: знак $+$ Нам подходит интервал со знаком $-$. **Ответ:** $x \in (-5; -1)$.