ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 12 - 4

а) $|x^{2}-x-1|=x^{2}+2x+1$ Заметим, что правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $$ x^2+2x+1=(x+1)^2 \ge 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Следовательно, уравнение $|f(x)| = g(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $$ \left[ \begin{aligned} x^2-x-1 &= x^2+2x+1 \\ x^2-x-1 &= -(x^2+2x+1) \end{aligned} \right. $$ Решим первое уравнение: $$ x^2-x-1 = x^2+2x+1 $$ $$ -x-1 = 2x+1 $$ $$ -3x = 2 \implies x_1 = -\frac{2}{3} $$ Решим второе уравнение: $$ x^2-x-1 = -x^2-2x-1 $$ $$ 2x^2+x = 0 $$ $$ x(2x+1) = 0 \implies x_2 = 0 \quad \text{или} \quad x_3 = -\frac{1}{2} $$ Так как правая часть исходного уравнения неотрицательна при любых действительных $x$, все найденные значения являются корнями уравнения. Ответ: $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{2}$; $0$. б) $|x^{2}-2x-2|=x^{2}-4x+6$ Выделим полный квадрат в правой части: $$ x^2-4x+6 = (x-2)^2 + 2 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Поскольку правая часть строго положительна при любых $x$, уравнение распадается на два случая: $$ \left[ \begin{aligned} x^2-2x-2 &= x^2-4x+6 \\ x^2-2x-2 &= -(x^2-4x+6) \end{aligned} \right. $$ Решим первое уравнение: $$ x^2-2x-2 = x^2-4x+6 $$ $$ -2x-2 = -4x+6 $$ $$ 2x = 8 \implies x_1 = 4 $$ Решим второе уравнение: $$ x^2-2x-2 = -x^2+4x-6 $$ $$ 2x^2-6x+4 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ x^2-3x+2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_2 = 1, \quad x_3 = 2 $$ Ответ: $1$; $2$; $4$. в) $|x^{2}-2x-4|=x^{2}-4x+4$ Правая часть уравнения представляет собой квадрат разности: $$ x^2-4x+4 = (x-2)^2 \ge 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $$ \left[ \begin{aligned} x^2-2x-4 &= x^2-4x+4 \\ x^2-2x-4 &= -(x^2-4x+4) \end{aligned} \right. $$ Решим первое уравнение: $$ x^2-2x-4 = x^2-4x+4 $$ $$ -2x-4 = -4x+4 $$ $$ 2x = 8 \implies x_1 = 4 $$ Решим второе уравнение: $$ x^2-2x-4 = -x^2+4x-4 $$ $$ 2x^2-6x = 0 $$ $$ 2x(x-3) = 0 \implies x_2 = 0 \quad \text{или} \quad x_3 = 3 $$ Ответ: $0$; $3$; $4$. г) $|x^{2}-4x+2|=x^{2}-6x+10$ Выделим полный квадрат в правой части: $$ x^2-6x+10 = (x-3)^2 + 1 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Так как правая часть принимает только положительные значения, уравнение равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{aligned} x^2-4x+2 &= x^2-6x+10 \\ x^2-4x+2 &= -(x^2-6x+10) \end{aligned} \right. $$ Решим первое уравнение: $$ x^2-4x+2 = x^2-6x+10 $$ $$ -4x+2 = -6x+10 $$ $$ 2x = 8 \implies x_1 = 4 $$ Решим второе уравнение: $$ x^2-4x+2 = -x^2+6x-10 $$ $$ 2x^2-10x+12 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ x^2-5x+6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_2 = 2, \quad x_3 = 3 $$ Ответ: $2$; $3$; $4$.