ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 12 - 7

а) $|9 - 3^x| + |x - 6| = 3^x - x + 9$ Для раскрытия модулей найдем нули подмодульных выражений: 1. $9 - 3^x = 0 \iff 3^x = 9 \iff x = 2$; 2. $x - 6 = 0 \iff x = 6$. Числа $x = 2$ и $x = 6$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Рассмотрим каждый из них: 1) При $x < 2$: выражение $9 - 3^x > 0$, а $x - 6 < 0$. Раскрываем модули: $$ (9 - 3^x) - (x - 6) = 3^x - x + 9 $$ $$ 9 - 3^x - x + 6 = 3^x - x + 9 $$ $$ 15 - 3^x - x = 3^x - x + 9 $$ $$ 2 \cdot 3^x = 6 $$ $$ 3^x = 3 \iff x = 1 $$ Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x < 2$. 2) При $2 \le x \le 6$: выражение $9 - 3^x \le 0$, а $x - 6 \le 0$. Раскрываем модули: $$ -(9 - 3^x) - (x - 6) = 3^x - x + 9 $$ $$ 3^x - 9 - x + 6 = 3^x - x + 9 $$ $$ 3^x - x - 3 = 3^x - x + 9 $$ $$ -3 = 9 $$ Равенство неверно, следовательно, на отрезке $[2; 6]$ решений нет. 3) При $x > 6$: выражение $9 - 3^x < 0$, а $x - 6 > 0$. Раскрываем модули: $$ -(9 - 3^x) + (x - 6) = 3^x - x + 9 $$ $$ 3^x - 9 + x - 6 = 3^x - x + 9 $$ $$ 3^x + x - 15 = 3^x - x + 9 $$ $$ x - 15 = -x + 9 $$ $$ 2x = 24 \iff x = 12 $$ Значение $x = 12$ удовлетворяет условию $x > 6$. Ответ: $1$; $12$. --- б) $|27 - 3^x| + |x - 5| = 3^x - x + 14$ Найдем нули подмодульных выражений: 1. $27 - 3^x = 0 \iff 3^x = 27 \iff x = 3$; 2. $x - 5 = 0 \iff x = 5$. Рассмотрим уравнение на каждом из трех промежутков: 1) При $x < 3$: выражение $27 - 3^x > 0$, а $x - 5 < 0$. Раскрываем модули: $$ (27 - 3^x) - (x - 5) = 3^x - x + 14 $$ $$ 27 - 3^x - x + 5 = 3^x - x + 14 $$ $$ 32 - 3^x - x = 3^x - x + 14 $$ $$ 2 \cdot 3^x = 18 $$ $$ 3^x = 9 \iff x = 2 $$ Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x < 3$. 2) При $3 \le x \le 5$: выражение $27 - 3^x \le 0$, а $x - 5 \le 0$. Раскрываем модули: $$ -(27 - 3^x) - (x - 5) = 3^x - x + 14 $$ $$ 3^x - 27 - x + 5 = 3^x - x + 14 $$ $$ 3^x - x - 22 = 3^x - x + 14 $$ $$ -22 = 14 $$ Равенство неверно, поэтому на отрезке $[3; 5]$ решений нет. 3) При $x > 5$: выражение $27 - 3^x < 0$, а $x - 5 > 0$. Раскрываем модули: $$ -(27 - 3^x) + (x - 5) = 3^x - x + 14 $$ $$ 3^x - 27 + x - 5 = 3^x - x + 14 $$ $$ 3^x + x - 32 = 3^x - x + 14 $$ $$ x - 32 = -x + 14 $$ $$ 2x = 46 \iff x = 23 $$ Значение $x = 23$ удовлетворяет условию $x > 5$. Ответ: $2$; $23$.