ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 12 - 3

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} f(x) &= g(x), \\ f(x) &= -g(x). \end{aligned} \right. \end{cases} $$ --- ### а) $|x^2 + 4x + 2| = x + 2$ Составим и решим равносильную систему: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 + 4x + 2 &= x + 2, \\ x^2 + 4x + 2 &= -(x + 2) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Условие существования решений: $x \ge -2$. Решим первое уравнение совокупности: $x^2 + 4x + 2 = x + 2$ $x^2 + 3x = 0$ $x(x + 3) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = -3$. Решим второе уравнение совокупности: $x^2 + 4x + 2 = -x - 2$ $x^2 + 5x + 4 = 0$ По теореме Виета: $x_3 = -1$, $x_4 = -4$. Проверим условие $x \ge -2$: * $x = 0 \ge -2$ — удовлетворяет условию; * $x = -3 < -2$ — не удовлетворяет условию; * $x = -1 \ge -2$ — удовлетворяет условию; * $x = -4 < -2$ — не удовлетворяет условию. **Ответ:** $-1$; $0$. --- ### б) $|x^2 + 6x + 7| = -x - 3$ Составим и решим равносильную систему: $$ \begin{cases} -x - 3 \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 + 6x + 7 &= -x - 3, \\ x^2 + 6x + 7 &= -(-x - 3) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Условие существования решений: $-x \ge 3 \implies x \le -3$. Решим первое уравнение совокупности: $x^2 + 6x + 7 = -x - 3$ $x^2 + 7x + 10 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = -5$. Решим второе уравнение совокупности: $x^2 + 6x + 7 = x + 3$ $x^2 + 5x + 4 = 0$ По теореме Виета: $x_3 = -1$, $x_4 = -4$. Проверим условие $x \le -3$: * $x = -2 > -3$ — не удовлетворяет условию; * $x = -5 \le -3$ — удовлетворяет условию; * $x = -1 > -3$ — не удовлетворяет условию; * $x = -4 \le -3$ — удовлетворяет условию. **Ответ:** $-5$; $-4$. --- ### в) $|x^2 - 2x - 2| = -x + 4$ Составим и решим равносильную систему: $$ \begin{cases} -x + 4 \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 2 &= -x + 4, \\ x^2 - 2x - 2 &= -(-x + 4) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Условие существования решений: $x \le 4$. Решим первое уравнение совокупности: $x^2 - 2x - 2 = -x + 4$ $x^2 - x - 6 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Решим второе уравнение совокупности: $x^2 - 2x - 2 = x - 4$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ По теореме Виета: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$. Проверим условие $x \le 4$: * $x = 3 \le 4$ — удовлетворяет условию; * $x = -2 \le 4$ — удовлетворяет условию; * $x = 1 \le 4$ — удовлетворяет условию; * $x = 2 \le 4$ — удовлетворяет условию. Все четыре найденных значения являются корнями исходного уравнения. **Ответ:** $-2$; $1$; $2$; $3$. --- ### г) $|x^2 - 4x + 1| = x + 1$ Составим и решим равносильную систему: $$ \begin{cases} x + 1 \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 4x + 1 &= x + 1, \\ x^2 - 4x + 1 &= -(x + 1) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Условие существования решений: $x \ge -1$. Решим первое уравнение совокупности: $x^2 - 4x + 1 = x + 1$ $x^2 - 5x = 0$ $x(x - 5) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Решим второе уравнение совокупности: $x^2 - 4x + 1 = -x - 1$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ По теореме Виета: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$. Проверим условие $x \ge -1$: * $x = 0 \ge -1$ — удовлетворяет условию; * $x = 5 \ge -1$ — удовлетворяет условию; * $x = 1 \ge -1$ — удовлетворяет условию; * $x = 2 \ge -1$ — удовлетворяет условию. Все четыре найденных значения являются корнями исходного уравнения. **Ответ:** $0$; $1$; $2$; $5$.