ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 31

а) Решим неравенство: $$ \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} + \sin x < 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} \sin x \ne 0 \\ \operatorname{ctg} x \ne 0 \iff \cos x \ne 0 \end{cases} $$ Отсюда $x \ne \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. Упростим выражение в левой части на ОДЗ: $$ \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x $$ Тогда исходное неравенство принимает вид: $$ \sin x + \sin x < 0 \iff 2\sin x < 0 \iff \sin x < 0 $$ 3. Решим неравенство $\sin x < 0$: $$ \pi + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Учтём ОДЗ: внутри каждого интервала $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$ необходимо исключить точки, где $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Ответ: $$ x \in \left(\pi + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- б) Решим неравенство: $$ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x > 2 \sin x $$ 1. Найдём ОДЗ: Функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ определены одновременно, если: $$ \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases} \iff x \ne \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. На ОДЗ справедливо тождество $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$. Неравенство принимает вид: $$ 1 > 2 \sin x \iff \sin x < \frac{1}{2} $$ 3. Решим неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$ с помощью единичной окружности: $$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ В пределах одного периода $[0; 2\pi]$ решениями являются промежутки $[0; \frac{\pi}{6})$ и $(\frac{5\pi}{6}; 2\pi]$. 4. Учтём ОДЗ ($x \ne \frac{\pi k}{2}$): исключаем точки $0$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ (с периодом $2\pi$). Ответ: $$ x \in \left(2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \pi + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- в) Решим неравенство: $$ \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} + \cos x > 0 $$ 1. Найдём ОДЗ: Так как $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \operatorname{tg} x \ne 0 \iff \sin x \ne 0 \end{cases} \iff x \ne \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Упростим выражение на ОДЗ: $$ \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x $$ Неравенство принимает вид: $$ \cos x + \cos x > 0 \iff 2\cos x > 0 \iff \cos x > 0 $$ 3. Решим неравенство $\cos x > 0$: $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Учтём ОДЗ: внутри каждого такого интервала нужно исключить точку, где $\sin x = 0$, то есть $x = 2\pi k$. Ответ: $$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi k\right) \cup \left(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- г) Решим неравенство: $$ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x < 2 \cos x $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases} \iff x \ne \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. На ОДЗ $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$. Неравенство принимает вид: $$ 1 < 2 \cos x \iff \cos x > \frac{1}{2} $$ 3. Решим неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Учтём ОДЗ: внутри интервала $\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)$ лежит точка, в которой $\sin x = 0$, это $x = 2\pi k$. Её необходимо исключить. Ответ: $$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; 2\pi k\right) \cup \left(2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$