ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 4

**Формулировка утверждения:** Пусть $m \in \mathbb{N}$. 1. Уравнение $$ (f(x))^{2m} = (g(x))^{2m} $$ является следствием уравнения $$ f(x) = g(x). $$ 2. Если для всех значений $x$ из некоторого множества $X$ обе части уравнения неотрицательны (то есть $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$), то на множестве $X$ уравнение $$ f(x) = g(x) $$ равносильно уравнению $$ (f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}. $$ --- **Доказательство:** **1. Докажем, что уравнение $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$.** Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что справедливо верное числовое равенство: $$ f(x_0) = g(x_0). $$ Возведём обе части этого равенства в степень $2m$. По свойствам степеней получаем верное числовое равенство: $$ (f(x_0))^{2m} = (g(x_0))^{2m}. $$ Следовательно, число $x_0$ является корнем уравнения $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$. Таким образом, каждый корень исходного уравнения является корнем возведённого в чётную степень уравнения, то есть уравнение $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. --- **2. Докажем равносильность уравнений на множестве $X$, где $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.** Для доказательства равносильности на множестве $X$ необходимо показать, что любой корень уравнения $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$, принадлежащий множеству $X$, является также корнем уравнения $f(x) = g(x)$ (так как прямое утверждение уже доказано в пункте 1). Пусть $x_0 \in X$ — корень уравнения $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$. Обозначим $a = f(x_0)$ и $b = g(x_0)$. По условию, так как $x_0 \in X$, числа $a$ и $b$ неотрицательны: $a \ge 0$, $b \ge 0$, и выполняется равенство: $$ a^{2m} = b^{2m}. $$ Функция $y = t^{2m}$ при натуральном $m$ является строго возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$. Докажем методом от противного, что из $a^{2m} = b^{2m}$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ следует $a = b$: - Если бы $a < b$, то в силу строгого возрастания функции $y = t^{2m}$ на $[0; +\infty)$ выполнялось бы неравенство $a^{2m} < b^{2m}$, что противоречит равенству $a^{2m} = b^{2m}$. - Если бы $a > b$, то аналогично $a^{2m} > b^{2m}$, что также противоречит равенству $a^{2m} = b^{2m}$. Следовательно, единственно возможным является случай: $$ a = b \implies f(x_0) = g(x_0). $$ Значит, $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, на множестве $X$ уравнения $f(x) = g(x)$ и $(f(x))^{2m} = (g(x))^{2m}$ имеют одно и то же множество корней, то есть являются равносильными. Утверждение доказано.