ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 7

### 10.7 а) $\sqrt{x+1} = x - 2$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ x + 1 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение системы: $$ x + 1 = x^2 - 4x + 4 $$ $$ x^2 - 5x + 3 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} $$ Проверим выполнение условия $x \ge 2$: * Для $x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $x_1 > \frac{5 + 3}{2} = 4 \ge 2$ — корень удовлетворяет условию. * Для $x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$: так как $\sqrt{13} > 3$, то $x_2 < \frac{5 - 3}{2} = 1 < 2$ — посторонний корень. **Ответ:** $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ --- б) $\sqrt{x-1} = x - 4$ Перейдем к равносильной системе: $$ \begin{cases} x - 4 \ge 0, \\ x - 1 = (x - 4)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$ x - 1 = x^2 - 8x + 16 $$ $$ x^2 - 9x + 17 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 81 - 68 = 13 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{9 \pm \sqrt{13}}{2} $$ Проверим условие $x \ge 4$: * Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}$: так как $\sqrt{13} > 3$, то $x_1 > \frac{9 + 3}{2} = 6 \ge 4$ — корень подходит. * Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{13}}{2}$: так как $\sqrt{13} > 3$, то $x_2 < \frac{9 - 3}{2} = 3 < 4$ — посторонний корень. **Ответ:** $\frac{9 + \sqrt{13}}{2}$ --- в) $\sqrt{x+3} = x + 2$ Перейдем к равносильной системе: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x + 3 = (x + 2)^2 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ x + 3 = x^2 + 4x + 4 $$ $$ x^2 + 3x + 1 = 0 $$ Найдем корни: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Проверим условие $x \ge -2$: * Для $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$: так как $2 < \sqrt{5} < 3$, получаем $-0{,}5 < x_1 < 0$, следовательно, $x_1 \ge -2$ — корень подходит. * Для $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$: так как $\sqrt{5} > 2$, получаем $x_2 < \frac{-3 - 2}{2} = -2{,}5 < -2$ — посторонний корень. **Ответ:** $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ --- г) $\sqrt{x} = x - 1$ Составим равносильную систему: $$ \begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ x = (x - 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем квадрат двучлена: $$ x = x^2 - 2x + 1 $$ $$ x^2 - 3x + 1 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Проверим условие $x \ge 1$: * Для $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$: так как $\sqrt{5} > 2$, то $x_1 > \frac{3 + 2}{2} = 2{,}5 \ge 1$ — корень подходит. * Для $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$: так как $\sqrt{5} > 2$, то $x_2 < \frac{3 - 2}{2} = 0{,}5 < 1$ — посторонний корень. **Ответ:** $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$