ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 85

Найдите область определения функций. ### а) $y = \sqrt[3]{x} + \frac{4}{\sqrt{2}} - x$ 1. Выражение $\sqrt[3]{x}$ представляет собой корень нечётной степени, который определён для всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). 2. Дробь $\frac{4}{\sqrt{2}}$ является числовой константой. 3. Линейное выражение $-x$ определено при всех $x \in \mathbb{R}$. Значит, функция определена на всей числовой прямой. **Ответ:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (или $x \in \mathbb{R}$). --- ### б) $y = 2^x + \sin x$ 1. Показательная функция $2^x$ определена для любого $x \in \mathbb{R}$. 2. Тригонометрическая функция $\sin x$ также определена для любого $x \in \mathbb{R}$. Сумма двух функций определена для всех действительных значений переменной. **Ответ:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (или $x \in \mathbb{R}$). --- ### в) $y = \operatorname{tg} x - \log_3 x$ 1. Функция тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена при условии, что знаменатель не обращается в ноль: $$ \cos x \ne 0 \iff x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Логарифмическая функция $\log_3 x$ определена только для положительных значений аргумента: $$ x > 0 $$ Составим и решим систему условий: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ **Ответ:** $x > 0$, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (или $x \in (0; +\infty)$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k = 0, 1, 2, \dots$). --- ### г) $y = \operatorname{ctg} x + \sqrt[3]{x^2}$ 1. Функция котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии, что знаменатель не равен нулю: $$ \sin x \ne 0 \iff x \ne \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Корень нечётной степени $\sqrt[3]{x^2}$ существует при любых действительных значениях $x$. Следовательно, область определения задаётся ограничением для котангенса. **Ответ:** $x \ne \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.