ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 83

**1.83\*** Для каждого пункта найдём область определения функции, раскроем знак модуля на интервалах знакопостоянства тригонометрических функций и опишем вид графика. --- ### а) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Таким образом, $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$. 2. **Раскрытие модуля:** По определению модуля: $$ |\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x > 0 \\ -\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases} $$ - Если $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1 $$ - Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1 $$ 3. **Анализ и график:** Функция является периодической с периодом $T = 2\pi$. График представляет собой совокупность горизонтальных интервалов: - отрезки прямой $y = 1$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$; - отрезки прямой $y = -1$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$. Точки вида $(\pi k; 1)$ и $(\pi k; -1)$ выколоты. --- ### б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Таким образом, $D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$. 2. **Раскрытие модуля:** - Если $\cos x > 0$, то есть $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1 $$ - Если $\cos x < 0$, то есть $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1 $$ 3. **Анализ и график:** Функция периодическая с периодом $T = 2\pi$. График состоит из горизонтальных интервалов: - отрезки прямой $y = 1$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$; - отрезки прямой $y = -1$ при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$. Точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ выколоты. --- ### в) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{\cos x}{|\cos x|}$ 1. **Область определения:** Знаменатели обеих дробей не должны обращаться в нуль: $$ \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. **Раскрытие модулей по координатным четвертям (на периоде $[0; 2\pi]$):** - **I четверть:** $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \implies \sin x > 0, \; \cos x > 0$: $$ y = 1 + 1 = 2 $$ - **II четверть:** $x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \implies \sin x > 0, \; \cos x < 0$: $$ y = 1 + (-1) = 0 $$ - **III четверть:** $x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \implies \sin x < 0, \; \cos x < 0$: $$ y = -1 + (-1) = -2 $$ - **IV четверть:** $x \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \implies \sin x < 0, \; \cos x > 0$: $$ y = -1 + 1 = 0 $$ С учётом периодичности функции с периодом $T = 2\pi$: $$ y = \begin{cases} 2, & x \in \left(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \\ 0, & x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k\right) \\ -2, & x \in \left(\pi + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. **График:** График состоит из изолированных горизонтальных интервалов на высотах $y = 2$, $y = 0$ и $y = -2$ с выколотыми концами в точках $x = \frac{\pi k}{2}$. --- ### г) $y = \sin x + |\sin x|$ 1. **Область определения:** Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. 2. **Раскрытие модуля:** - Если $\sin x \ge 0$, то есть $x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \sin x + \sin x = 2\sin x $$ - Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \sin x - \sin x = 0 $$ 3. **Анализ и график:** Функция непрерывна на всей числовой оси и периодична с периодом $T = 2\pi$. Множество значений: $E(y) = [0; 2]$. График представляет собой: - участки синусоиды, растянутой по оси $Oy$ в 2 раза ($y = 2\sin x$), на отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ с вершинами в точках $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 2\right)$; - отрезки, лежащие прямо на оси абсцисс ($y = 0$), на промежутках $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$. --- ### д) $y = \cos x + |\cos x|$ 1. **Область определения:** Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. 2. **Раскрытие модуля:** - Если $\cos x \ge 0$, то есть $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \cos x + \cos x = 2\cos x $$ - Если $\cos x < 0$, то есть $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \cos x - \cos x = 0 $$ 3. **Анализ и график:** Функция непрерывна на всей числовой оси и периодична с периодом $T = 2\pi$. Множество значений: $E(y) = [0; 2]$. График представляет собой: - участки косинусоиды, растянутой по оси $Oy$ в 2 раза ($y = 2\cos x$), на отрезках $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$ с максимумами в точках $(2\pi k; 2)$; - отрезки, лежащие на оси абсцисс ($y = 0$), на промежутках $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$.