ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 87

Для решения каждого пункта воспользуемся формулами сокращённого умножения для выделения полных квадратов и тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$. Затем раскроем модули по интервалам знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, и охарактеризуем полученную кусочно-линейную функцию и её график. ### а) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ Преобразуем подкоренные выражения: $$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$ $$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $$ Тогда функция принимает вид: $$ y = \sqrt{(x + 1)^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = |x + 1| + |x - 3| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -1$ и $x = 3$. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: 1. При $x < -1$: $x + 1 < 0 \implies |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$, $x - 3 < 0 \implies |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. $$ y = (-x - 1) + (3 - x) = -2x + 2 $$ 2. При $-1 \le x \le 3$: $x + 1 \ge 0 \implies |x + 1| = x + 1$, $x - 3 \le 0 \implies |x - 3| = 3 - x$. $$ y = (x + 1) + (3 - x) = 4 $$ 3. При $x > 3$: $x + 1 > 0 \implies |x + 1| = x + 1$, $x - 3 > 0 \implies |x - 3| = x - 3$. $$ y = (x + 1) + (x - 3) = 2x - 2 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} -2x + 2, & \text{при } x < -1, \\ 4, & \text{при } -1 \le x \le 3, \\ 2x - 2, & \text{при } x > 3. \end{cases} $$ **График:** - луч прямой $y = -2x + 2$ при $x \le -1$ (проходит, например, через точку $(-2; 6)$ и оканчивается в точке $(-1; 4)$); - горизонтальный отрезок $y = 4$ от точки $(-1; 4)$ до точки $(3; 4)$; - луч прямой $y = 2x - 2$ при $x \ge 3$ с началом в точке $(3; 4)$ (проходит через точку $(4; 6)$). --- ### б) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$ Преобразуем подкоренные выражения: $$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $$ $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ Тогда функция принимает вид: $$ y = \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x + 3)^2} = |x - 1| - |x + 3| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 1$. 1. При $x < -3$: $x - 1 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, $x + 3 < 0 \implies |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. $$ y = (1 - x) - (-x - 3) = 1 - x + x + 3 = 4 $$ 2. При $-3 \le x \le 1$: $x - 1 \le 0 \implies |x - 1| = 1 - x$, $x + 3 \ge 0 \implies |x + 3| = x + 3$. $$ y = (1 - x) - (x + 3) = 1 - x - x - 3 = -2x - 2 $$ 3. При $x > 1$: $x - 1 > 0 \implies |x - 1| = x - 1$, $x + 3 > 0 \implies |x + 3| = x + 3$. $$ y = (x - 1) - (x + 3) = x - 1 - x - 3 = -4 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} 4, & \text{при } x < -3, \\ -2x - 2, & \text{при } -3 \le x \le 1, \\ -4, & \text{при } x > 1. \end{cases} $$ **График:** - горизонтальный луч $y = 4$ при $x \le -3$, идущий до точки $(-3; 4)$; - отрезок прямой $y = -2x - 2$ от точки $(-3; 4)$ до точки $(1; -4)$; - горизонтальный луч $y = -4$ при $x \ge 1$ с началом в точке $(1; -4)$. --- ### в) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ Преобразуем подкоренные выражения: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ $$ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $$ Тогда функция принимает вид: $$ y = \sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x + 2)^2} = |x - 2| + |x + 2| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 2$. 1. При $x < -2$: $x - 2 < 0 \implies |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$, $x + 2 < 0 \implies |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. $$ y = (2 - x) + (-x - 2) = -2x $$ 2. При $-2 \le x \le 2$: $x - 2 \le 0 \implies |x - 2| = 2 - x$, $x + 2 \ge 0 \implies |x + 2| = x + 2$. $$ y = (2 - x) + (x + 2) = 4 $$ 3. При $x > 2$: $x - 2 > 0 \implies |x - 2| = x - 2$, $x + 2 > 0 \implies |x + 2| = x + 2$. $$ y = (x - 2) + (x + 2) = 2x $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -2, \\ 4, & \text{при } -2 \le x \le 2, \\ 2x, & \text{при } x > 2. \end{cases} $$ **График:** - луч прямой $y = -2x$ при $x \le -2$ (проходит через точку $(-3; 6)$ и заканчивается в точке $(-2; 4)$); - горизонтальный отрезок $y = 4$ от точки $(-2; 4)$ до точки $(2; 4)$; - луч прямой $y = 2x$ при $x \ge 2$ с началом в точке $(2; 4)$ (проходит через точку $(3; 6)$). --- ### г) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ Преобразуем подкоренные выражения: $$ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Тогда функция принимает вид: $$ y = \sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(x - 2)^2} = |x + 2| - |x - 2| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 2$. 1. При $x < -2$: $x + 2 < 0 \implies |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$, $x - 2 < 0 \implies |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. $$ y = (-x - 2) - (2 - x) = -x - 2 - 2 + x = -4 $$ 2. При $-2 \le x \le 2$: $x + 2 \ge 0 \implies |x + 2| = x + 2$, $x - 2 \le 0 \implies |x - 2| = 2 - x$. $$ y = (x + 2) - (2 - x) = x + 2 - 2 + x = 2x $$ 3. При $x > 2$: $x + 2 > 0 \implies |x + 2| = x + 2$, $x - 2 > 0 \implies |x - 2| = x - 2$. $$ y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} -4, & \text{при } x < -2, \\ 2x, & \text{при } -2 \le x \le 2, \\ 4, & \text{при } x > 2. \end{cases} $$ **График:** - горизонтальный луч $y = -4$ при $x \le -2$, идущий до точки $(-2; -4)$; - отрезок прямой $y = 2x$ от точки $(-2; -4)$ до точки $(2; 4)$ (проходит через начало координат $(0; 0)$); - горизонтальный луч $y = 4$ при $x \ge 2$ с началом в точке $(2; 4)$.