ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 80

а) $y = 1 - \frac{1}{|x|}$ 1. **Область определения функции:** Знаменатель не может быть равен нулю: $$|x| \neq 0 \iff x \neq 0$$ Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. **Исследование на чётность:** $$f(-x) = 1 - \frac{1}{|-x|} = 1 - \frac{1}{|x|} = f(x)$$ Функция является чётной, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Построение графика:** Раскроем модуль при $x > 0$: $$y = 1 - \frac{1}{x}$$ Для $x > 0$ строим график функции $y = -\frac{1}{x}$, поднятый на $1$ единицу вверх вдоль оси $Oy$: * Горизонтальная асимптота: прямая $y = 1$. * Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$). * Точка пересечения с осью $Ox$: $1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1$. Для $x < 0$ отображаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $-1$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{4}$ | --- б) $y = \frac{1}{|x|} + 2$ 1. **Область определения функции:** $$|x| \neq 0 \iff x \neq 0$$ Следовательно, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. **Исследование на чётность:** $$f(-x) = \frac{1}{|-x|} + 2 = \frac{1}{|x|} + 2 = f(x)$$ Функция является чётной, её график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Построение графика:** Раскроем модуль при $x > 0$: $$y = \frac{1}{x} + 2$$ Для $x > 0$ строим ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$, сдвинутую на $2$ единицы вверх вдоль оси $Oy$: * Горизонтальная асимптота: прямая $y = 2$. * Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$). Для $x < 0$ отображаем полученную кривую симметрично относительно оси $Oy$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2\frac{1}{4}$ | $2\frac{1}{2}$ | $3$ | $4$ | $4$ | $3$ | $2\frac{1}{2}$ | $2\frac{1}{4}$ | --- в) $y = 3^{|x|}$ 1. **Область определения функции:** Выражение имеет смысл при всех действительных значениях аргумента: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Исследование на чётность:** $$f(-x) = 3^{|-x|} = 3^{|x|} = f(x)$$ Функция является чётной, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Построение графика:** * При $x \ge 0$: $y = 3^x$ — график возрастающей показательной функции с основанием $3$. * При $x < 0$: $y = 3^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — зеркальное отражение правой части относительно оси $Oy$. * Так как $|x| \ge 0$, то $3^{|x|} \ge 3^0 = 1$. Наименьшее значение функции достигается в точке $(0; 1)$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $9$ | $3$ | $1$ | $3$ | $9$ | --- г) $y = 3^{-|x|}$ 1. **Область определения функции:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Исследование на чётность:** $$f(-x) = 3^{-|-x|} = 3^{-|x|} = f(x)$$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Построение графика:** Перепишем функцию в виде: $$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}$$ * При $x \ge 0$: $y = 3^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — график убывающей показательной функции. * При $x < 0$: график строится симметричным отражением правой части относительно оси $Oy$ (на этом промежутке функция возрастает). * Так как $-|x| \le 0$, то $3^{-|x|} \le 3^0 = 1$. Наибольшее значение функции достигается в точке $(0; 1)$. * Ось абсцисс $y = 0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{1}{27}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |