ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 79

**1.79** График функции вида $y = |f(x)|$ строится по общему правилу: 1. Строится график функции $y = f(x)$. 2. Часть графика, лежащая выше оси $Ox$ или на ней ($f(x) \ge 0$), остаётся без изменений. 3. Часть графика, расположенная ниже оси $Ox$ ($f(x) < 0$), зеркально отображается относительно оси $Ox$ вверх (в верхнюю полуплоскость). --- **а)** $y = |x^2 - 4|$ 1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Построим вспомогательный график параболы $f(x) = x^2 - 4$: - ветви направлены вверх; - вершина параболы находится в точке $(0; -4)$; - нули функции: $$ x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2 $$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$. 3. Применим операцию взятия модуля: - при $x \le -2$ и $x \ge 2$ значения $x^2 - 4 \ge 0$, график сохраняется; - на интервале $(-2; 2)$ значения $x^2 - 4 < 0$, поэтому часть параболы отражается зеркально вверх относительно оси $Ox$. Вершина переходит из точки $(0; -4)$ в точку $(0; 4)$. Контрольные точки: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $5$ | График представляет собой параболу с «загнутой» вверх центральной частью на отрезке $[-2; 2]$, с изломами в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$. --- **б)** $y = \left| \dfrac{4}{x} - 1 \right|$ 1. Область определения: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Построим график гиперболы $f(x) = \dfrac{4}{x} - 1$: - график получен сдвигом гиперболы $y = \dfrac{4}{x}$ на $1$ единицу вниз; - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$); - горизонтальная асимптота: $y = -1$; - нуль функции: $$ \frac{4}{x} - 1 = 0 \implies \frac{4}{x} = 1 \implies x = 4 $$ Точка пересечения с осью $Ox$: $(4; 0)$. 3. Применим модуль: - при $x < 0$ все значения $\dfrac{4}{x} - 1 < -1 < 0$. Левая ветвь гиперболы целиком лежит ниже оси $Ox$ и отражается вверх: она располагается выше горизонтальной асимптоты $y = 1$ и уходит в $+\infty$ при приближении к оси $Oy$ слева ($x \to 0^-$); - при $0 < x \le 4$ выражение $\dfrac{4}{x} - 1 \ge 0$, график сохраняется; - при $x > 4$ значения $\dfrac{4}{x} - 1 < 0$, часть правой ветви отражается вверх относительно оси $Ox$, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y = 1$ снизу при $x \to +\infty$; - прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой графика при $x \to \pm\infty$. Контрольные точки: | $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $3$ | $5$ | $3$ | $1$ | $0$ | $0{,}5$ | Точка излома графика — $(4; 0)$. --- **в)** $y = |\log_2 x|$ 1. Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. 2. Построим график функции $f(x) = \log_2 x$: - основание $2 > 1$, функция монотонно возрастает; - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$); - нуль функции: $\log_2 x = 0 \implies x = 1$, точка пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$. 3. Применим модуль: - при $x \ge 1$ имеем $\log_2 x \ge 0$, график сохраняется; - при $0 < x < 1$ имеем $\log_2 x < 0$, эта ветвь отражается зеркально вверх относительно оси $Ox$. При $x \to 0^+$ значения $y \to +\infty$. Контрольные точки: | $x$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | График имеет острый излом в точке $(1; 0)$ и состоит из двух ветвей, уходящих в $+\infty$ при $x \to 0^+$ и при $x \to +\infty$. --- **г)** $y = |2^x - 2|$ 1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Построим график показательной функции $f(x) = 2^x - 2$: - график получается сдвигом функции $y = 2^x$ на $2$ единицы вниз; - горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$: $y = -2$; - нуль функции: $$ 2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1 $$ Точка пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$; - точка пересечения с осью $Oy$: $f(0) = 2^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. 3. Применим модуль: - при $x \ge 1$ имеем $2^x - 2 \ge 0$, график сохраняется; - при $x < 1$ имеем $2^x - 2 < 0$, график зеркально отражается вверх относительно оси $Ox$; - горизонтальная асимптота $y = -2$ отражается в прямую $y = 2$ (график приближается к ней снизу при $x \to -\infty$); - точка пересечения с осью $Oy$ переходит в $(0; 1)$. Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1{,}75$ | $1{,}5$ | $1$ | $0$ | $2$ | $6$ | График имеет излом в точке $(1; 0)$, при $x \to -\infty$ приближается к горизонтальной асимптоте $y = 2$, а при $x > 1$ неограниченно возрастает.