ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 95

1) Сравним числа $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$. Функция $y = \arcsin x$ определена на отрезке $[-1; 1]$ и является строго возрастающей на всей области определения, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним аргументы $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{2}{\sqrt{10}}$. Так как оба числа положительны, возведём их в квадрат: $$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} = \frac{10}{30} $$ $$ \left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{12}{30} $$ Так как $\frac{10}{30} < \frac{12}{30}$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}}$. В силу возрастания функции $y = \arcsin x$: $$ \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}} $$ 2) Сравним числа $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$. Сравним аргументы, приведя дроби к общему знаменателю $12$: $$ -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12} $$ $$ -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12} $$ Так как $-8 > -9$, получаем: $$ -\frac{8}{12} > -\frac{9}{12} \implies -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} $$ Так как функция $y = \arcsin x$ строго возрастает: $$ \arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) $$ 3) Сравним числа $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$. Оба аргумента положительны и принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Сравним их квадраты: $$ \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} = \frac{36}{45} $$ $$ \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} = \frac{25}{45} $$ Так как $\frac{36}{45} > \frac{25}{45}$, то $\frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{\sqrt{5}}{3}$. Так как функция $y = \arcsin x$ строго возрастает: $$ \arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} $$ 4) Сравним числа $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$. Сначала сравним модули аргументов $\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Возведём их в квадрат: $$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} = \frac{32}{144} $$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} = \frac{81}{144} $$ Так как $\frac{32}{144} < \frac{81}{144}$, то $\frac{\sqrt{2}}{3} < \frac{3}{4}$. Умножив обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства: $$ -\frac{\sqrt{2}}{3} > -\frac{3}{4} $$ Так как функция $y = \arcsin x$ строго возрастает: $$ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) $$ **Ответ:** 1) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$; 2) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$; 3) $\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} > \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3}$; 4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$.