ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 97

Для сравнения значений воспользуемся свойством функции $y = \arctg x$: данная функция определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ и является строго возрастающей, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции (если $x_1 < x_2$, то $\arctg x_1 < \arctg x_2$). 1) Сравним аргументы: $$ 2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} $$ $$ 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} $$ Так как $12 < 18$, то $\sqrt{12} < \sqrt{18}$, то есть $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$. Поскольку функция $y = \arctg x$ возрастает: $$ \arctg 2\sqrt{3} < \arctg 3\sqrt{2} $$ 2) Сравним аргументы $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$. Так как $\sqrt{2} < \sqrt{5}$, то для положительных дробей верно неравенство: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}} $$ При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $$ -\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}} $$ Поскольку функция $y = \arctg x$ возрастает: $$ \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$ 3) Сравним аргументы $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$. Так как $5 < 7$, то $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Поскольку функция $y = \arctg x$ возрастает: $$ \arctg \sqrt{5} < \arctg \sqrt{7} $$ 4) Сравним аргументы $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $-\sqrt{2}$. Сравним положительные числа $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$, возведя их в квадрат: $$ \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ $$ \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 $$ Так как $\frac{4}{3} < 2$, то $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sqrt{2}$. Следовательно, для противоположных отрицательных чисел: $$ -\frac{2}{\sqrt{3}} > -\sqrt{2} $$ Поскольку функция $y = \arctg x$ возрастает: $$ \arctg \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) > \arctg \left(-\sqrt{2}\right) $$ Ответ: 1) $\arctg 2\sqrt{3} < \arctg 3\sqrt{2}$; 2) $\arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$; 3) $\arctg \sqrt{5} < \arctg \sqrt{7}$; 4) $\arctg \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) > \arctg \left(-\sqrt{2}\right)$.