ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 93

### 1) $y = \operatorname{tg}\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ Преобразуем аргумент функции, вынеся коэффициент $3$ за скобки: $$ y = \operatorname{tg}\left(3\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right) $$ **1. Исследование функции для построения графика:** * **Область определения:** аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$: $$ 3x - \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $$ $$ 3x \ne \frac{3\pi}{4} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ * **Вертикальные асимптоты:** прямые вида $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Для основного периода при $k = -1$ и $k = 0$ асимптотами являются прямые $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. * **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Период функции:** $$ T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3} $$ * **Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):** $$ \operatorname{tg}\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies 3x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ При $k = 0$ получаем точку $\left(\frac{\pi}{12}; 0\right)$. * **Пересечение с осью $Oy$ (при $x = 0$):** $$ y(0) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \implies (0; -1) $$ **2. Этапы построения с помощью преобразований:** 1. Построить базовую тангенсоиду $y = \operatorname{tg} x$. 2. Сжать её вдоль оси $Ox$ к оси $Oy$ в $3$ раза — получаем график $y = \operatorname{tg} 3x$ (период уменьшается до $\frac{\pi}{3}$). 3. Сдвинуть полученный график вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{12}$ единиц. **3. Контрольные точки на одном периоде $\left(-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{4}\right)$:** | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{6}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | График представляет собой периодически повторяющиеся ветви тангенсоиды, заключённые между вертикальными асимптотами $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, каждая из которых монотонно возрастает на всей своей области определения. --- ### 2) $y = \operatorname{ctg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ Преобразуем аргумент функции: $$ y = \operatorname{ctg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) $$ **1. Исследование функции для построения графика:** * **Область определения:** аргумент котангенса не должен быть кратен $\pi$: $$ 2x - \frac{\pi}{3} \ne \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x \ne \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ * **Вертикальные асимптоты:** прямые вида $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Для одного периода при $k = 0$ и $k = 1$ асимптотами являются прямые $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$. * **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Период функции:** $$ T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{2} $$ * **Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):** $$ \operatorname{ctg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k $$ $$ 2x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ При $k = 0$ получаем точку $\left(\frac{5\pi}{12}; 0\right)$. * **Пересечение с осью $Oy$ (при $x = 0$):** $$ y(0) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0{,}58 $$ **2. Этапы построения с помощью преобразований:** 1. Построить базовую котангенсоиду $y = \operatorname{ctg} x$. 2. Сжать её вдоль оси $Ox$ к оси $Oy$ в $2$ раза — получаем график $y = \operatorname{ctg} 2x$ (период уменьшается до $\frac{\pi}{2}$). 3. Сдвинуть полученный график вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ единиц. **3. Контрольные точки на одном периоде $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right)$:** | $x$ | $\frac{7\pi}{24}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{13\pi}{24}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0{,}58$ | $-1$ | График состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей котангенсоиды, расположенных в полосах шириной $\frac{\pi}{2}$ между прямыми $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, убывающих на каждом интервале области определения.