ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 91

**1)** Построить график функции $y = \operatorname{tg}|x|$. 1. **Область определения:** Функция определена для всех $x$, при которых существует тангенс: $|x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$, откуда: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. **Чётность:** $$ y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x) $$ Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Схема построения:** * Раскроем модуль: при $x \ge 0$ (из области определения) $y = \operatorname{tg} x$. Строим ветви тангенсоиды на промежутках $[0; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ и т. д. * Для $x < 0$ отображаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. * В точке $(0; 0)$ график имеет излом (угловую точку). * Вертикальные асимптоты: прямые $x = \pm \frac{\pi}{2}$, $x = \pm \frac{3\pi}{2}$, ..., $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Характерные точки: * $x = 0 \implies y = 0$; * $x = \pm \frac{\pi}{4} \implies y = 1$; * $x = \pm \pi \implies y = 0$; * $x = \pm \frac{3\pi}{4} \implies y = -1$. --- **2)** Построить график функции $y = |\operatorname{tg} x|$. 1. **Область определения:** $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. **Множество значений:** $E(y) = [0; +\infty)$. 3. **Периодичность и чётность:** * Период функции равен $\pi$, так как базовый период тангенса равен $\pi$. * Функция чётная: $y(-x) = |\operatorname{tg}(-x)| = |-\operatorname{tg} x| = |\operatorname{tg} x| = y(x)$. 4. **Схема построения:** * Строим график базовой функции $y = \operatorname{tg} x$. * Часть графика, расположенную выше или на оси $Ox$ ($\operatorname{tg} x \ge 0$), оставляем без изменений. * Часть графика, лежащую ниже оси $Ox$ ($\operatorname{tg} x < 0$), зеркально отображаем вверх относительно оси $Ox$. * Нули функции (точки касания и излома на оси $Ox$): $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки на промежутке $[0; \pi)$: * $x = 0 \implies y = 0$; * $x = \frac{\pi}{4} \implies y = 1$; * $x = \frac{3\pi}{4} \implies y = |{-1}| = 1$; * $x \to \frac{\pi}{2} \implies y \to +\infty$ с обеих сторон. --- **3)** Построить график функции $y = \operatorname{ctg} x$. 1. **Область определения:** Котангенс определяется как $\frac{\cos x}{\sin x}$, поэтому $\sin x \neq 0$: $$ x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. **Свойства функции:** * Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. * Период функции: $T = \pi$. Достаточно построить график на промежутке $(0; \pi)$ и продолжить его периодически с шагом $\pi$. * Функция нечётная: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, график симметричен относительно начала координат. * Функция строго убывает на каждом интервале вида $(\pi k; \pi + \pi k), \; k \in \mathbb{Z}$. 3. **Схема построения:** * Проводим вертикальные асимптоты: прямые $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (включая ось $Oy$, задаваемую уравнением $x = 0$). * Находим нули функции: $\operatorname{ctg} x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Контрольные точки на основном интервале $(0; \pi)$: * при $x = \frac{\pi}{4}$: $y = 1$; * при $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 0$; * при $x = \frac{3\pi}{4}$: $y = -1$. * Через найденные точки проводим гладкую убывающую кривую, приближающуюся к асимптоте $x = 0$ вверх (в $+\infty$) и к асимптоте $x = \pi$ вниз (в $-\infty$), затем циклически повторяем её по всей числовой прямой. --- **4)** Построить график функции $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$. 1. **Преобразование и область определения:** Используем формулу $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Дробь имеет смысл, если одновременно: * существует сам $\operatorname{ctg} x$, то есть $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; * знаменатель не равен нулю, то есть $\operatorname{ctg} x \neq 0 \implies \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Объединяя оба условия, получаем область определения: $$ x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ При выполнении этих условий: $$ y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = \operatorname{tg} x $$ 2. **Схема построения:** * Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$. * Учитывая ОДЗ, выкалываем на построенном графике все точки, в которых $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Так как в этих точках $\operatorname{tg}(\pi k) = 0$, то выколотыми будут точки пересечения с осью $Ox$: $$ (\pi k; 0), \quad k \in \mathbb{Z} $$ * Вертикальные асимптоты остаются теми же, что и у тангенса: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.