ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 89

### 1) Функция $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ **Построение графика:** График функции получается параллельным переносом графика функции $y = \operatorname{tg} x$ вдоль оси $Ox$ влево на $\frac{\pi}{4}$. Точки перегиба (пересечения с осью $Ox$) смещаются в точки $\left(-\frac{\pi}{4} + \pi k; 0\right)$, а вертикальные асимптоты принимают вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** аргумент функции не должен обращаться в $\frac{\pi}{2} + \pi k$: $$x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$D(y) = \left( -\frac{3\pi}{4} + \pi k; \, \frac{\pi}{4} + \pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ Вертикальные асимптоты: прямые $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$. 3. **Периодичность:** функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. 4. **Чётность / нечётность:** функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 5. **Нули функции:** $$\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \iff x + \frac{\pi}{4} = \pi k \iff x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \, \frac{\pi}{4} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$; - $y < 0$ при $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + \pi k; \, -\frac{\pi}{4} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. 7. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на каждом интервале своей области определения: $$\left(-\frac{3\pi}{4} + \pi k; \, \frac{\pi}{4} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ --- ### 2) Функция $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ **Построение графика:** График функции получается растяжением графика функции $y = \operatorname{tg} x$ вдоль оси $Ox$ в $2$ раза. Период функции увеличивается в 2 раза и равен $2\pi$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$D(y) = (-\pi + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$$ Вертикальные асимптоты: прямые $x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$. 3. **Периодичность:** наименьший положительный период функции: $$T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$$ 4. **Чётность / нечётность:** функция нечётная, так как: $$y(-x) = \operatorname{tg}\left(-\frac{x}{2}\right) = -\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -y(x)$$ График симметричен относительно начала координат. 5. **Нули функции:** $$\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0 \iff \frac{x}{2} = \pi k \iff x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (2\pi k; \, \pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$; - $y < 0$ при $x \in (-\pi + 2\pi k; \, 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$. 7. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на каждом интервале своей области определения: $$(-\pi + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$$ --- ### 3) Функция $y = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ **Построение графика:** График функции получается параллельным переносом графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{3}$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $$x - \frac{\pi}{3} \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$D(y) = \left( \frac{\pi}{3} + \pi k; \, \frac{4\pi}{3} + \pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ Вертикальные асимптоты: прямые $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$. 3. **Периодичность:** наименьший положительный период $T = \pi$. 4. **Чётность / нечётность:** функция общего вида (ни чётная, ни нечётная). 5. **Нули функции:** $$\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \iff x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \iff x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi k; \, \frac{5\pi}{6} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$; - $y < 0$ при $x \in \left(\frac{5\pi}{6} + \pi k; \, \frac{4\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. 7. **Промежутки монотонности:** функция убывает на каждом интервале своей области определения: $$\left(\frac{\pi}{3} + \pi k; \, \frac{4\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ --- ### 4) Функция $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$ Упростим числовое выражение под знаком функции: $$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$ По формулам приведения: $$y = \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{12} = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}27$$ Функция представляет собой константу: $y = \sqrt{3} - 2$. **Построение графика:** Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс $Ox$, проходящая через точку $(0; \sqrt{3} - 2)$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$. 2. **Множество значений:** $E(y) = \{\sqrt{3} - 2\}$. 3. **Периодичность:** функция периодическая, периодом является любое число $T \neq 0$ (наименьшего положительного периода не существует). 4. **Чётность / нечётность:** функция чётная, так как $y(-x) = y(x) = \sqrt{3} - 2$. 5. **Нули функции:** нулей нет ($y \neq 0$ при любых $x$). 6. **Промежутки знакопостоянства:** $y < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, поскольку $\sqrt{3} - 2 < 0$. 7. **Монотонность:** функция постоянная (не возрастает и не убывает). --- *Примечание:* Если в условии пункта 4 допущена типографская опечатка и имелась в виду функция $y = \operatorname{ctg} 3x$: - **График** получается сжатием графика $y = \operatorname{ctg} x$ к оси $Oy$ в $3$ раза. - **Область определения:** $3x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$. - **Множество значений:** $E(y) = \mathbb{R}$. - **Период:** $T = \frac{\pi}{3}$. - **Чётность:** нечётная функция. - **Нули функции:** $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$. - **Монотонность:** убывает на каждом интервале $\left(\frac{\pi k}{3}; \, \frac{\pi(k+1)}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.