ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 873

**1)** $5 + \sin 2x = 5(\sin x + \cos x)$ Введём замену переменной: $$t = \sin x + \cos x$$ Возведём обе части замены в квадрат: $$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$$ Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $2\sin x \cos x = \sin 2x$, получаем: $$t^2 = 1 + \sin 2x \implies \sin 2x = t^2 - 1$$ Оценим возможные значения переменной $t$: $$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$. Подставим замену в исходное уравнение: $$5 + (t^2 - 1) = 5t$$ $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ По теореме Виета: $$t_1 = 1, \quad t_2 = 4$$ Корень $t_2 = 4$ не удовлетворяет условию $|t| \le \sqrt{2}$, так как $4 > \sqrt{2}$. Вернёмся к переменной $x$ для $t = 1$: $$\sin x + \cos x = 1$$ Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Отсюда получаем два случая: 1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = 2\pi k, \; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $2 + 2\cos x = 3\sin x \cos x + 2\sin x$ Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: $$2 + 2(\cos x - \sin x) - 3\sin x \cos x = 0$$ Введём замену переменной: $$t = \cos x - \sin x$$ Возведём обе части замены в квадрат: $$t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = 1 - 2\sin x \cos x$$ Выразим произведение $\sin x \cos x$: $$\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$$ Оценим допустимые значения переменной $t$: $$t = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \implies -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$$ Подставим $t$ и $\sin x \cos x$ в уравнение: $$2 + 2t - 3 \cdot \frac{1 - t^2}{2} = 0$$ Умножим обе части уравнения на 2: $$4 + 4t - 3(1 - t^2) = 0$$ $$3t^2 + 4t + 1 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ $$t_1 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad t_2 = \frac{-4 - 2}{6} = -1$$ Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le \sqrt{2}$. Выполним обратную замену: 1) При $t = -1$: $$\cos x - \sin x = -1$$ $$\sin x - \cos x = 1$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Получаем: - $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ - $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ 2) При $t = -\frac{1}{3}$: $$\cos x - \sin x = -\frac{1}{3}$$ $$\sin x - \cos x = \frac{1}{3}$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$ Отсюда: $$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; x = \pi + 2\pi k, \; x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right) + \pi n, \; k, n \in \mathbb{Z}$.