ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 871
Авторы: Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.
Тип книги: Учебник
Год: 2016
Подробное решение упражнение № 871 по алгебре для учащихся 11 класса Базовый и углубленный уровень, авторов Колягин, Ткачева, Федорова, Шабунин 2016
ИИ-решебник / упражнение / 871
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$
Применим к левой части уравнения формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:
$$
2 \sin \frac{x + 5x}{2} \cos \frac{x - 5x}{2} = \sin 3x
$$
Так как косинус — чётная функция, $\cos(-2x) = \cos 2x$:
$$
2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x
$$
Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:
$$
2 \sin 3x \cos 2x - \sin 3x = 0
$$
$$
\sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0
$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$
\left[
\begin{aligned}
& \sin 3x = 0, \\
& 2 \cos 2x - 1 = 0.
\end{aligned}
\right.
$$
Решим каждое уравнение:
1. $\sin 3x = 0$
$$
3x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
$$
x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
2. $2 \cos 2x - 1 = 0$
$$
\cos 2x = \frac{1}{2}
$$
$$
2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
$$
x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
---
2) $\cos 7x - \cos 3x = 3\sin 5x$
Применим к левой части уравнения формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$:
$$
-2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \sin \frac{7x - 3x}{2} = 3\sin 5x
$$
$$
-2 \sin 5x \sin 2x = 3\sin 5x
$$
Перенесём все слагаемые в одну часть:
$$
-2 \sin 5x \sin 2x - 3\sin 5x = 0
$$
Вынесем $-\sin 5x$ за скобки:
$$
\sin 5x (2 \sin 2x + 3) = 0
$$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$$
\left[
\begin{aligned}
& \sin 5x = 0, \\
& 2 \sin 2x + 3 = 0.
\end{aligned}
\right.
$$
Решим каждое уравнение:
1. $\sin 5x = 0$
$$
5x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
$$
x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
2. $2 \sin 2x + 3 = 0$
$$
\sin 2x = -\frac{3}{2}
$$
Так как $|-\frac{3}{2}| = 1{,}5 > 1$, а для любого действительного аргумента $|\sin 2x| \le 1$, это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
