ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 876

**876.** **1)** Решим уравнение: $$ \text{tg } 2x = 3 \text{tg } x $$ Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg } 2x = \dfrac{2\text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}$ при условии $\text{tg}^2 x \neq 1$ и существования $\text{tg } x$: $$ \frac{2\text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x} = 3\text{tg } x $$ Перенесем слагаемые в одну часть: $$ \frac{2\text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x} - 3\text{tg } x = 0 $$ $$ \text{tg } x \left( \frac{2}{1 - \text{tg}^2 x} - 3 \right) = 0 $$ Получаем два случая: 1) $\text{tg } x = 0$ $$ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $\dfrac{2}{1 - \text{tg}^2 x} - 3 = 0$ $$ \frac{2 - 3(1 - \text{tg}^2 x)}{1 - \text{tg}^2 x} = 0 $$ $$ 2 - 3 + 3\text{tg}^2 x = 0 $$ $$ 3\text{tg}^2 x = 1 \implies \text{tg}^2 x = \frac{1}{3} \implies \text{tg } x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Все найденные значения удовлетворяют области допустимых значений исходного уравнения ($\cos 2x \neq 0$, $\cos x \neq 0$). Ответ: $x = \pi n$; $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \text{ctg } 2x = 2 \text{ctg } x $$ Используем формулу $\text{ctg } 2x = \dfrac{\text{ctg}^2 x - 1}{2\text{ctg } x}$ при условии $\sin 2x \neq 0$ (откуда $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$): $$ \frac{\text{ctg}^2 x - 1}{2\text{ctg } x} = 2\text{ctg } x $$ Умножим обе части уравнения на $2\text{ctg } x \neq 0$: $$ \text{ctg}^2 x - 1 = 4\text{ctg}^2 x $$ $$ 3\text{ctg}^2 x = -1 $$ $$ \text{ctg}^2 x = -\frac{1}{3} $$ Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным ($\text{ctg}^2 x \ge 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. --- **3)** Решим уравнение: $$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2 $$ Используем формулы тангенса суммы и разности: $$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } x + 1}{1 - \text{tg } x}, \quad \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } x - 1}{1 + \text{tg } x} $$ Подставим их в уравнение: $$ \frac{1 + \text{tg } x}{1 - \text{tg } x} + \frac{\text{tg } x - 1}{1 + \text{tg } x} = 2 $$ Пусть $t = \text{tg } x$, где $t \neq \pm 1$: $$ \frac{1 + t}{1 - t} + \frac{t - 1}{1 + t} = 2 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - t)(1 + t) = 1 - t^2$: $$ \frac{(1 + t)^2 + (t - 1)(1 - t)}{1 - t^2} = 2 $$ $$ \frac{(1 + 2t + t^2) - (1 - 2t + t^2)}{1 - t^2} = 2 $$ $$ \frac{4t}{1 - t^2} = 2 $$ Разделим обе части на 2: $$ \frac{2t}{1 - t^2} = 1 $$ $$ 2t = 1 - t^2 $$ $$ t^2 + 2t - 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$ $$ t = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \neq \pm 1$. Возвращаемся к замене: $$ \text{tg } x = -1 \pm \sqrt{2} $$ $$ x = \text{arctg}(-1 \pm \sqrt{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что $\text{tg}\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$, откуда $\text{arctg}(\sqrt{2} - 1) = \dfrac{\pi}{8}$, а $\text{arctg}(-1 - \sqrt{2}) = -\text{arctg}(\sqrt{2} + 1) = -\dfrac{3\pi}{8}$. Объединяя, получаем: $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **4)** Решим уравнение: $$ \text{tg}(2x + 1) \text{ctg}(x + 1) = 1 $$ По определению котангенса $\text{ctg}(x + 1) = \dfrac{1}{\text{tg}(x + 1)}$ при условии $\sin(x + 1) \neq 0$ и $\cos(x + 1) \neq 0$: $$ \frac{\text{tg}(2x + 1)}{\text{tg}(x + 1)} = 1 $$ $$ \text{tg}(2x + 1) = \text{tg}(x + 1) $$ Перенесем все в левую часть и распишем через синус и косинус: $$ \frac{\sin(2x + 1)}{\cos(2x + 1)} - \frac{\sin(x + 1)}{\cos(x + 1)} = 0 $$ $$ \frac{\sin(2x + 1)\cos(x + 1) - \cos(2x + 1)\sin(x + 1)}{\cos(2x + 1)\cos(x + 1)} = 0 $$ $$ \frac{\sin((2x + 1) - (x + 1))}{\cos(2x + 1)\cos(x + 1)} = 0 $$ $$ \frac{\sin x}{\cos(2x + 1)\cos(x + 1)} = 0 $$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определен и отличен от нуля: $$ \sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Проверим знаменатель и ОДЗ тангенса и котангенса: - $\cos(x + 1) = \cos(\pi n + 1) = (-1)^n \cos 1 \neq 0$, так как $1 \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k$; - $\sin(x + 1) = \sin(\pi n + 1) = (-1)^n \sin 1 \neq 0$, так как $1 \neq \pi k$; - $\cos(2x + 1) = \cos(2\pi n + 1) = \cos 1 \neq 0$. Следовательно, все условия выполнены. Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.