ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 868

**1)** $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ 4 \sin^4 x + (2 \sin x \cos x)^2 = 2 $$ $$ 4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2 $$ Вынесем общий множитель $4 \sin^2 x$ за скобки: $$ 4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ 4 \sin^2 x \cdot 1 = 2 $$ $$ \sin^2 x = \frac{1}{2} $$ Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $$ \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} $$ $$ 1 - \cos 2x = 1 $$ $$ \cos 2x = 0 $$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$ Преобразуем левую часть уравнения, дополнив её до полного квадрата суммы: $$ \left(\sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3}\right)^2 - 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{5}{8} $$ Так как $\sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 1$, а $2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = \sin \frac{2x}{3}$, получаем: $$ 1 - \frac{1}{2} \left(2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}\right)^2 = \frac{5}{8} $$ $$ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{5}{8} $$ $$ \frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = 1 - \frac{5}{8} $$ $$ \frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{8} $$ $$ \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{4} $$ Применим формулу понижения степени: $$ \frac{1 - \cos \frac{4x}{3}}{2} = \frac{3}{4} $$ $$ 1 - \cos \frac{4x}{3} = \frac{3}{2} $$ $$ \cos \frac{4x}{3} = -\frac{1}{2} $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ \frac{4x}{3} = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \frac{4x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$: $$ x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.